第八章：积分的进一步应用

《斯图尔特微积分》第八章：积分的进一步应用读书笔记。本章继续扩展积分的应用范围，从几何中的弧长和曲面面积，延伸到流体压力、质心、经济学、生物学与概率密度。

本章地图

小节	核心问题	需要掌握的内容
8.1 弧长的计算	曲线长度怎样由折线极限得到？	弧长公式、弧长函数
8.2 旋转曲面的面积	旋转曲面面积怎样累积？	表面积微元、绕坐标轴旋转
8.3 物理学和工程学中的应用	积分怎样描述连续物理量？	液体压力、矩、质心、帕普斯定理
8.4 经济学和生物学中的应用	积分怎样进入跨学科模型？	消费者剩余、血流量、心输出量
8.5 概率	连续随机变量怎样分配概率？	概率密度、均值、中位值、正态分布

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8.1 弧长的计算

引文

让一根线和曲线重合，然后用尺子测量线的长度，那么这个长度也就是曲线的长度，最初我们是这么设想的，但是当曲线变得复杂时，这种方法就不那么奏效了，此时，我们需要一种可以求解曲线长度的方法。

曲线的弧长

如果曲线是一条折线，我们很容易就可以求出它的长度，仅仅是几条线段相加就可以了。可以使用类似的方法，要定义一般曲线的长度，首先将其近似为一个折线轨迹，可以回想一下，曾经我们用圆内接多边形的边长之和的极限来求圆的周长。

原讲义插图待补充

原始笔记引用了 8-1.1.png，但当前目录中没有找到对应图片。正文与公式已保留，后续补入图片后可替换此提示。

小结 $L=\lim_{ n \to +\infty }\sum_{i=1}^n|P_{i-1}-P_{i}|$ 其中 $|P_{i-1}-P_{i}|$ 为 $P_{i-1}$ 和 $P_{i}$ 之间的距离。也就是很多折线的长度之和。

我们可以用积分推导出 $L$ 的一个公式：

令 $\Delta y_{i}=y_{i}-y_{i-1}$ ，那么 $|P_{i-1}P_{i}|=\sqrt{ (x_{i}-x_{i-1})^2+(y_{i}-y_{i-1})^2 }=\sqrt{ (\Delta x)^2+(\Delta y_{i})^2 }$

公式

弧长公式：

如果 $f'$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，那么曲线 $y=f(x),a\leqslant x\leqslant b$ 的长度为

$L=\int_{a}^{b} \sqrt{ 1+[f'(x)]^2 } \, dx$ 也可以写为 $L=\int_{a}^{b} \sqrt{ 1+\left( \frac{dy}{dx} \right)^2 } \, dx$

例题 例1：求半立方抛物线 $y^2=x^3$ 在点 $(1,1)$ 和点 $(4,8)$ 之间的弧长 解： $y=x^{\frac{3}{2}}\implies y'=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}$ $L=\int_{1}^{4} \sqrt{ 1+\left( \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} \right)^2 } \, dx =\int_{1}^{4} \sqrt{ 1+\frac{9}{4}x } \, dx$ 令 $u=1+\dfrac{9}{4}x$，则 $du=\dfrac{9}{4}\,dx$。当 $x=1$ 时，$u=\dfrac{13}{4}$；当 $x=4$ 时，$u=10$。 $L=\frac{4}{9}\int_{\frac{13}{4}}^{10}\sqrt{ u } \, du=\frac{4}{9}\times \frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}\bigg|_{\frac{13}{4}}^{10}=\frac{80\sqrt{ 10 }-13\sqrt{ 13 }}{27}$

对于上述问题，如果曲线方程是 $x=g(y),c\leqslant y\leqslant d$ ，我们可以把 $x$ 和 $y$ 互换，得到如下变形公式：

公式

弧长公式变形

$L=\int_{c}^{d} \sqrt{ 1+[g'(y)]^2 } \, dy=\int_{c}^{d} \sqrt{ 1+\left( \frac{dx}{dy} \right)^2 } \, dy$

例题 例2：求抛物线 $y^2=x$ 在点 $(0,0)$ 和点 $(1,1)$ 之间的弧长。 解： 由 $x=y^2$ 可得

$$\frac{dx}{dy}=2y$$

$L=\int_{0}^{1} \sqrt{ 1+(2y)^2 } \, dy=\int_{0}^{1} \sqrt{ 1+4y^2 } \, dy$ 作三角换元

$$y=\frac{1}{2}\tan\theta, \qquad dy=\frac{1}{2}\sec^2\theta\,d\theta$$

$\sqrt{ 1+4y^2 }=\sqrt{ 1+\tan^2\theta }=\sec\theta$ 当 $y=0$ 时，$\theta=0$；当 $y=1$ 时，$\tan\theta=2$，记 $A=\arctan 2$。 $L=\int_{0}^{A} \sec\theta\cdot \frac{1}{2}\sec^2\theta \, d\theta=\frac{1}{2}\int_{0}^{A} \sec^3 \, d\theta$ $L=\frac{1}{4}(\sec A\tan A+\ln |\sec A+\tan A|)$

$$\tan A=2, \qquad \sec^2 A=1+\tan^2 A=5$$

$L= \frac{\sqrt{ 5 }}{2}+\frac{\ln(\sqrt{ 5 }+2)}{4}$

弧长函数

如果用 $s(x)$ 表示曲线 $C$ 从起点 $P_{0}(a,f(a))$ 到终点 $Q(x,f(x))$ 的距离，则 $s$ 为一个函数，称为弧长函数： $s(x)=\int_{a}^{x} \sqrt{ 1+[f'(t)]^2 } \, dt$ $\frac{ds}{dx}=\sqrt{ 1+[f'(t)] }=\sqrt{ 1+\left( \frac{dy}{dx} \right)^2 }$ $ds=\sqrt{ 1+\left( \frac{dy}{dx} \right) }dx$ 也可以推导出： $ds=\sqrt{ 1+\left( \frac{dx}{dy} \right) }dy$

例题 例3：求曲线 $y=x^2-\frac{1}{8}\ln x$ 以 $P_{0}(1,1)$ 为起点的弧长函数。 解： $y'=2x-\frac{1}{8x}$ $\sqrt{ 1+[f'(x)]^2 }=2x+\frac{1}{8x}$ $s(x)=\int_{1}^{x} \left( 2t+\frac{1}{8t} \right) \, dt =\left[ t^2+\frac{1}{8}\ln t \right]_{1}^x$ $s(x)=x^2+\frac{1}{8\ln x}-1$

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8.2 旋转曲面的面积

小结 圆锥体侧面积：

$A=\pi rl$ 底面圆半径为 $r$ ，母线长为 $l$ 。

小结 圆台侧面积：

$A=2\pi rl$ 其中 $r$ 为条带平均半径。

观察上图，它是由曲线 $y=f(x),a\leqslant x\leqslant b$ 绕 $x$ 轴旋转而成。 我们计算其中一个条带的面积： 母线长和平均半径分别为

$$l=|P_{i-1}P_i|, \qquad r=\frac{1}{2}(y_{i-1}+y_i)$$

$|P_{i-1}P_{i}|=\sqrt{ 1+[f'(x^*)]^2 }\Delta x$ $r=f(x_{i}^*)$ $A=2\pi |P_{i-1}P_{i}|\frac{1}{2}(y_{i-1}+y_{i})$ 那么，整个旋转曲面的面积为： $S=\sum_{i=1}^n2\pi f(x_{i}^*)\sqrt{ 1+f'(x_{i}^*)^2 }\Delta x$

小结 旋转曲面面积公式：

由曲线 $y=f(x),a\leqslant x\leqslant b$ 绕 $x$ 轴旋转而成， $S=\int_{a}^{b} 2\pi f(x)\sqrt{ 1+[f'(x)]^2 } \, dx$ $S=\int_{a}^{b} 2\pi y\sqrt{ 1+\left( \frac{dy}{dx} \right)^2 } \, dx$ 绕 $x$ 轴变形为 $S=\int_{c}^{d}2\pi y\sqrt{ 1+\left( \frac{dx}{dy} \right) } \, dy$

例题 例1：曲线 $y=\sqrt{ 4-x^2 },-1\leqslant x\leqslant1$ 是一段弧，求这段弧绕 $x$ 轴旋转所得曲面的面积。 解： $\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{\sqrt{ 4-x^2 }}$ $S=\int_{-1}^{1} 2\pi y\sqrt{ 1+\left( \frac{dy}{dx} \right)^2 } \, dx$ $S=2\pi\int_{-1}^{1} \sqrt{ 4-x^2 }\sqrt{ 1+ \frac{x^2}{4-x^2} } \, dx$ $S=4\pi \int_{-1}^{1} 1 \, dx=4\pi \times 2=8\pi$

例2：求曲线 $x=\frac{2}{3}y^{\frac{3}{2}}$ 在 $y=0$ 和 $y=3$ 之间的弧绕 $x$ 轴旋转所得曲面的面积。 解： $S=\int_{0}^{3} 2\pi y\sqrt{ 1+\left( \frac{dx}{dy} \right) } \, dy=2\pi \int_{0}^{3} y\sqrt{ 1+\left( y^{\frac{1}{2}} \right)^2 } \, dy$ $S=2\pi \int_{0}^{3} y\sqrt{ 1+y } \, dy$ 令 $u=1+y,du=dy$ $S=2\pi \int_{1}^{4} (u-1)\sqrt{ u } \, du=\frac{232}{15}\pi$

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8.3 物理学和工程学中的应用

液体的压强和压力

引文 潜水员经验：越下潜，水的压力就越大，这是因为他们上方的水越来越重。

液体对平板的压力： $F=mg=\rho gAd$ 单位面积上所受压力： $P=\frac{F}{A}=\rho gd$ 例题 例1：梯形大坝高20m，顶部宽50m，底部宽30m，如果水位到坝顶的距离为4m，求流体静压强造成的大坝所受的力。 解： 建立坐标系，令 $x$ 轴垂直，向下为正方向，原点在水平面处，水深16m，将区间 $[0,16]$ 分成等宽子区间，端点为 $x_{i}$ ，样本点为 $x_{i}^*\in [x_{i-1},x_{i}]$ ，那么，大坝中的第 $i$ 个水平条形可以用高为 $\Delta x$ 、宽为 $w_{i}$ 的矩形来近似， $\frac{a}{16-x_{i}^*}=\frac{10}{20}\implies a=8-\frac{x_{i}^*}{2}$ $w_{i}=2(15+a)=46-x_{i}^*$ 第 $i$ 个条形的面积为 $A_{i}$ $A_{i} \approx w_{i}\cdot\Delta x=(46-x_{i}^*)\Delta x$ 因为 $\Delta x$ 很小，那么第 $i$ 个条形上的压强 $P_{i}$ 几乎恒定的 $P_{i}=1000gx_{i}^*$ $F_{i}=P_{i}A_{i}\approx1000gx_{i}^*(46-x_{i}^*)\Delta x$ $F=\lim_{ n \to +\infty }\sum_{i=1}^n1000gx_{i}^*(46-x_{i}^*)\Delta x$ $=\int_{0}^{16} 1000gx(46-x) \, dx=9800\left[ 23x^2-\frac{x^3}{3} \right]_{0}^{16}$ $\approx 4.43\times 10^7N$

物体的矩和质心

引文 在任意形状的薄板上找到一点 $P$ ，使得以这一点为支点，薄板可以维持水平平衡，这一点称为薄板的质心（重心）。

质心所在处： $\bar{x}=\frac{m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}}{m_{1}+m_{2}}$ $\bar{x}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^nm_{i}x_{i}}{\displaystyle\sum_{i=1}^nm_{i}}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^nm_{i}x_{i}}{m}$ 系统关于原点的矩： $M=\sum_{i=1}^nm_{i}x_{i}$ 系统关于 $y$ 轴的矩： $M_{y}=\sum_{i=1}^nm_{i}x_{i}$ $M_{y}=\lim_{ n \to +\infty }\sum_{i=1}^n\rho \bar{x}_{i}f(\bar{x}_{i})\Delta x=\rho \int_{a}^{b} xf(x) \, dx$ 系统关于 $x$ 轴的矩： $M_{x}=\sum_{i=1}^nm_{i}y_{i}$ $M_{x}=\lim_{ n \to +\infty }\sum_{i=1}^n\rho \frac{1}{2}[f(\bar{x}_{i})]^2\Delta x=\rho \int_{a}^{b} \frac{1}{2}[f(x)]^2 \, dx$

质心位于点 $(\bar{x},\bar{y})$ 处： $\bar{x}=\frac{1}{A}\int_{a}^{b} xf(x) \, dx ,\quad \bar{y}=\frac{1}{A}\int_{a}^{b} \frac{1}{2}[f(x)]^2 \, dx$

例题 例：求密度均匀的半径为 $r$ 的半圆形平板的质心。 解： $f(x)=\sqrt{ r^2-x^2 },a=-r,b=r$ 由对称性可知 $\bar{x}=0$。 $A=\frac{1}{2}\pi r^2$ $\bar{y}=\frac{1}{A}\int_{-r}^{r} [f(x)]^2 \, dx =\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}\pi r^2} \frac{1}{2}\int_{-r}^{r}(\sqrt{ r^2-x^2 })^2 \, dx$ $=\frac{2}{\pi r^2}\int_{0}^{r} (r^2-x^2) \, dx=\frac{4r}{3\pi}$ 质心为

$$\left(0,\frac{4r}{3\pi}\right)$$

如果区域 $R$ 位于曲线 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ 之间，其中 $f(x)\geqslant g(x)$ ，那么：

公式

形心

$\bar{x}=\frac{1}{A}\int_{a}^{b} x[f(x)-g(x)] \, dx$ $\bar{y}=\frac{1}{2A}\int_{a}^{b} ([f(x)]^2-[g(x)]^2) \, dx$

帕普斯定理

设 $R$ 为一个平面区域，它完全位于平面上直线 $l$ 的一侧，那么 $R$ 绕 $l$ 旋转所得立体的体积是 $R$ 的面积 $A$ 与 $R$ 的形心所经过 的距离 $d$ 的乘积。

$V=A\times d$

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8.4 经济学和生物学中的应用

消费者剩余

消费者剩余 对于给定的价格，一些购买商品的消费者本来愿意支付更多的钱，但他们因不必这样做而受益，消费者愿意支付的钱与消费者实际支付的钱的差额称为消费者剩余。

通过求出某商品所有购买者的总消费者剩余，经济学家可以评估市场对社会的总体效益。

在每个商品节约的金额 $\times$ 商品数量= $[p(x_{i})-P]\Delta x$

商品的总消费者剩余： $\int_{0}^{X} [p(x)-P] \, dx$ 几何解释：需求曲线下方和直线 $p=P$ 上方区域的面积。

例题 例：某商品的需求函数 $p=1200-0.2x-0.0001x^2$ 求销量为 $500$ 时的消费者剩余。

解： $p|_{x=500}=1200-0.2\times 500-0.0001\times 500^2=1075$ $\int_{0}^{500} (1200-0.2x-0.0001x^2-1075) \, dx$ $\approx33333.33$

血流量

公式 层流定律： $v(r)=\frac{P}{4\eta l}(R^2-r^2)$ 泊肃叶定律： $F=\frac{\pi PR^4}{8\eta l}$

心输出量

经过测量点的燃料量近似为

$$\text{浓度}\times\text{体积} =c(t_i)(F\Delta t)$$

公式 染料的总量 $A=F\int_{0}^{T} c(t) \, dt$ 心输出量 $F=\frac{A}{\displaystyle\int_{0}^{T}c(t) \, dt }$

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8.5 概率

概率密度函数

每个连续随机变量 $X$ 都有一个概率密度函数 $f$ ，这表示 $X$ 在 $a$ 和 $b$ 之间的概率为 $f$ 从 $a$ 到 $b$ 的积分： $P(a\leqslant X\leqslant b) =\int_{a}^{b} f(x) \, dx$

均值和中位值

一般来说，我们将任何概率密度函数 $f$ 的均值定义为 $\mu=\int_{-\infty}^{+\infty} xf(x) \, dx$

正态分布

正态分布是指随机变量 $X$ 的概率密度函数是一下函数族中的一个成员函数： $f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{ 2\pi }}e^{\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

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本章总结

• 弧长来自折线长度之和的极限，其微元包含水平与竖直变化。
• 旋转曲面面积由周长与弧长微元的乘积累积得到。
• 压力、质心等问题需要先建立正确的连续分布模型。
• 积分可以表示消费者剩余、血流量与心输出量等跨学科量。
• 概率密度曲线下的面积给出连续随机变量落在区间内的概率。