第三章：求导法则

《斯图尔特微积分》第三章：求导法则读书笔记。本章把导数定义发展成可计算的工具箱，并将求导法则用于自然科学、指数增长、相关变化率和线性近似。

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小节	核心问题	需要掌握的内容
3.1 多项式与指数函数的导数	基本函数如何求导？	常值、幂函数、多项式、指数函数
3.2 函数积与商的求导法则	乘积和商怎样求导？	乘积法则、商法则
3.3 三角函数的导数	三角函数变化率如何计算？	六种三角函数的导数
3.4 链式法则	复合函数怎样求导？	链式法则、一般指数函数
3.5 隐函数求导法	方程未显式解出时怎样求导？	隐函数、一阶与二阶导数
3.6 对数函数与反三角函数的导数	对数和反函数怎样求导？	对数求导、反三角函数、数 $e$
3.7 自然科学和社会科学中的变化率	导数如何进入实际模型？	速度、密度、电流、边际量
3.8 指数级增长和衰减	比例增长如何建模？	种群、衰变、冷却、连续复利
3.9 相关变化率	多个变量同时变化时怎么办？	隐式关系、单位、建模步骤
3.10 线性近似与微分	怎样在局部近似函数？	切线近似、微分、误差、泰勒多项式
3.11 双曲函数	双曲函数有哪些微分性质？	定义、恒等式、导数

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3.1 多项式与指数函数的导数

常值函数

• 从最简单的常值函数 $f(x)=c$ 开始，它的图像是水平线 $y=c$ ，其斜率为零，因此有 $f'(x)=0$ ，根据导数定义，可得： $f'(x)=\lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{ h \to 0 } \frac{c-c}{h}=\lim_{ h \to 0 } 0=0$
• 使用莱布尼茨符号表示为： $\text{常值函数的导数：} \frac{d}{dx}(c)=0$

幂函数

提示

• 幂函数的求导法则：

$\text{对于任意实数}n,\text{幂函数的导数：} \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}$

导数计算的扩展

• 函数常数倍的求导法则： $\text{如果}c\text{是一个常数}，f\text{是一个可微函数，那么：} \frac{d}{dx}(cf(x))=c \frac{d}{dx}f(x)$
• 函数和差的求导法则： $\frac{d}{dx}[f(x)+g(x)]=\frac{d}{dx}f(x)+\frac{d}{dx}g(x)$ $\frac{d}{dx}[f(x)-g(x)]=\frac{d}{dx}f(x)-\frac{d}{dx}g(x)$

指数函数

提示

• 数 $e$ 的定义：

$\text{数}e\text{满足:}\lim_{ h \to 0 } \frac{e^h-1}{h}=1$

• 几何上，这意味着在所有可能的指数函数 $y=b^x$ 中，函数 $f(x)=e^x$是那个在点 $(0,1)$ 处切线的斜率 $f'(0)$ 正好为$1$ 的函数。

提示

• 自然指数函数的导数：

$\frac{d}{dx}(e^x)=e^x$

• 指数函数 $f(x)=e^x$ 具有导数是其本身的特性。这个性质的几何意义是曲线 $y=e^x$ 在点 $(x,e^x)$ 处的切线的斜率等于该点的纵坐标。

3.1 习题

求下列函数的导数

题目 1

题目

$g(x)=4x+7$

解答

$g'(x)=4$

题目 2

题目

$g(t)=5t+4t^2$

解答

$g'(t)=5+8t$

题目 3

题目

$f(x)=x^{75}-x+3$

解答

$f'(x)=75x^{74}-1$

题目 4

题目

$g(x)=\frac{7}{4}x^2-3x+12$

解答

$g'(x)=\frac{7}{2}x-3$

题目 5

题目

$f(t)=-2e^t$

解答

$f'(t)=-2e^t$

题目 6

题目

$F(t)=t^3+e^3$

解答

$F'(t)=3t^2$

题目 7

题目

$W(v)=1.8v^{-3}$

解答

$W'(v)=-5.4v^{-4}$

题目 8

题目

$r(z)=z^{-5}-z^{-\frac{1}{2}}$

解答

$r'(z)=-5z^{-6}+\frac{1}{2}z^{-\frac{3}{2}}$

题目 9

题目

$f(x)=x^{\frac{3}{2}}+x^{-3}$

解答

$f'(x)=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}-3x^{-4}$

题目 10

题目

$V(t)=t^{-\frac{3}{5}}+t^4$

解答

$V'(t)=-\frac{3}{5}t^{-\frac{8}{5}}+4t^3$

题目 11

题目

$s(t)=\frac{1}{t}+\frac{1}{t^2}$

解答

$s'(t)=-t^{-2}-2t^{-3}$

题目 12

题目

$r(t)=\frac{a}{t^2}+\frac{b}{t^4}$

解答

$r'(t)=-2at^{-3}-4bt^{-5}$

题目 13

题目

$y=2x+\sqrt{ x }$

解答

$y'=2+\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$

题目 14

题目

$h(w)=\sqrt{ 2 }w-\sqrt{ 2 }$

解答

$h'(w)=\sqrt{ 2 }$

题目 15

题目

$g(x)=\frac{1}{\sqrt{ x }}+\sqrt[4]{ x }$

解答

$g'(x)=-\frac{1}{2} x^{-\frac{3}{2}}+\frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}}$

题目 16

题目

$W(t)=\sqrt{ t }-2e^t$

解答

$W'(t)=\frac{1}{2}t^{-\frac{1}{2}}-2e^t$

题目 17

题目

$f(x)=x^3(x+3)$

解答

$f'(x)=4x^3+9x^2$

题目 18

题目

$F(t)=(2t-3)^2$

解答

$F(t)=4t^2-12t+9$

$F'(t)=8t-12$

题目 19

题目

$y=3e^x+\frac{4}{\sqrt[3]{ x }}$

解答

$y'=3e^x+4\cdot\left( -\frac{1}{3} \right)\cdot x^{-\frac{4}{3}}$

$y'=3e^x-\frac{4}{3}\cdot x^{-\frac{4}{3}}$

题目 20

题目

$S(R)=4\pi R^2$

解答

$S'(R)=8\pi R$

题目 21

题目

$f(x)=\frac{3x^2+x^3}{x}$

解答

$f(x)=3x+x^2$

$f'(x)=3+2x$

题目 22

题目

$y=\frac{\sqrt{ x }+x}{x^2}$

解答

$y=\left( x^{\frac{1}{2}}+x \right)\cdot x^{-2}=x^{-\frac{3}{2}}+x^{-1}$

$y'=-\frac{3}{2}x^{-\frac{5}{2}}-x^{-2}$

题目 23

题目

$G(r)=\frac{3r^{\frac{3}{2}}+r^{\frac{5}{2}}}{r}$

解答

$G(r)=3r^{\frac{1}{2}}+r^{\frac{3}{2}}$

$G'(r)=\frac{3}{2}r^{-\frac{1}{2}}+\frac{3}{2}r^{\frac{1}{2}}$

题目 24

题目

$G(t)=\sqrt{ 5t }+\frac{\sqrt{ 7 }}{t}$

解答

$G'(t)=\sqrt{ 5 }\cdot \frac{1}{2}t^{-\frac{1}{2}}+\sqrt{ 7 }\cdot(-1)t^{-2}$

$G'(t)=\frac{\sqrt{ 5 }}{2}t^{-\frac{1}{2}}-\sqrt{ 7 }t^{-2}$

题目 25

题目

$j(x)=x^{2.4}+e^{2.4}$

解答

$j'(x)=2.4x^{1.4}$

题目 26

题目

$k(r)=e^r+r^e$

解答

$k'(r)=e^r+er^{e-1}$

题目 27

题目

$F(z)=\frac{A+Bz+Cz^2}{z^2}$

解答

$F'(z)=\frac{(B+2Cz)z^2-(A+Bz+Cz^2)\cdot(2z)}{z^4}$

$F'(z)=\frac{(B+2Cz)z-2(A+Bz+Cz^2)}{z^3}=\frac{Bz+2Cz^2-2A-2Bz-2Cz^2}{z^3}$

$F'(t)=-\frac{2A+Bz}{z^3}$

题目 28

题目

$G(q)=(1+q^{-1})^2$

解答

$G(q)=1+2q^{-1}+q^{-2}$

$G'(q)=-2q^{-2}-2q^{-3}$

题目 29

题目

$D(t)=\frac{1+16t^2}{(4t)^3}$

解答

$D(t)=\frac{1+16t^2}{64t^3}=\frac{1}{64}t^{-3}+\frac{1}{4}t^{-1}$

$D'(t)=-\frac{3}{64}t^{-4}-\frac{1}{4}t^{-2}$

题目 30

题目

$f(v)=\frac{\sqrt[3]{ v }-2ve^v}{v}$

解答

$f(v)=\left( v^{\frac{1}{3}}-2ve^v \right)v^{-1}=v^{-\frac{2}{3}}-2e^v$

$f'(v)=-\frac{2}{3}v^{-\frac{5}{3}}-2e^v$

题目 31

题目

$P(w)=\frac{2w^2-w+4}{\sqrt{ w }}$

解答

$P(w)=(2w^2-w+4)w^{-\frac{1}{2}}=2w^{\frac{3}{2}}-w^{\frac{1}{2}}+4w^{-\frac{1}{2}}$

$P'(w)=3w^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}w^{-\frac{1}{2}}-2w^{-\frac{3}{2}}$

题目 32

题目

$y=e^{x+1}+1$

解答

$y'=e^{x+1}$

求 $\frac{dy}{dx}$ 和 $\frac{dy}{dt}$

题目 33

题目

$y=tx^2+t^3x$

解答

$\frac{dy}{dx}=2tx+t^3$

$\frac{dy}{dt}=x^2+3t^2x$

题目 34

题目

$y=\frac{t}{x^2}+\frac{x}{t}$

解答

$\frac{dy}{dx}=-2tx^{-3}+\frac{1}{t}$

$\frac{dy}{dt}=x^{-2}-xt^{-2}$

求曲线在给定点处的切线方程

题目 35

题目

$y=2x^3-x^2+2,\quad (1,3)$

解答

$y'=6x^2-2x$

$y'\bigg|_{(1,3)}=6-2=4$

切线方程：$y-3=4(x-1)\implies y=4x-1$

题目 36

题目

$y=2e^x+x,\quad (0,2)$

解答

$y'=2e^x+1$

$y'\bigg|_{(0,2)}=2e^0+1=3$

切线方程：$y-2=3x\implies y=3x+2$

题目 37

题目

$y=x+\frac{2}{x},\quad (2,3)$

解答

$y'=1-2x^{-2}$

$y'\bigg|_{(2,3)}=1-2\cdot2^{-2}=\frac{1}{2}$

切线方程：$y-3=\frac{1}{2}(x-2)\implies y=\frac{1}{2}x+2$

题目 38

题目

$y=\sqrt[4]{ x }-x,\quad (1,0)$

解答

$y'=\frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}}-1$

$y'\bigg|_{(1,0)}=-\frac{3}{4}$

切线方程：$y=-\frac{3}{4}(x-1)\implies y=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}$

求曲线在给定点处的切线和法线方程

题目 39

题目

$y=x^4+2e^x,\quad (0,2)$

解答

$y'=4x^3+2e^x$

$y'\bigg|_{(0,2)}=0+2e^0=2$，法线斜率：$y'_{n}=-\frac{1}{2}$

切线方程：$y-2=2x\implies y=2x+2$

法线方程：$y=-\frac{1}{2}x+2$

题目 40

题目

$y=x^{\frac{3}{2}},\quad (1,1)$

解答

$y'=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}$

$y'\bigg|_{(1,1)}=\frac{3}{2}\cdot1^{\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}$，法线斜率：$y'_{n}=-\frac{2}{3}$

切线方程：$y-1=\frac{3}{2}(x-1)\implies y=\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}$

法线方程：$y-1=-\frac{2}{3} (x-1)\implies y=-\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}$

求下列函数的一阶导数和二阶导数

题目 41

题目

$f(x)=0.001x^5-0.02x^3$

解答

$f'(x)=0.005x^4-0.06x^2$

$f''(x)=0.02x^3-0.12x$

题目 42

题目

$G(r)=\sqrt{ r }+\sqrt[3]{ r }$

解答

$G'(r)=\frac{1}{2}r^{-\frac{1}{2}}+\frac{1}{3}r^{-\frac{2}{3}}$

$G''(r)=-\frac{1}{4}r^{-\frac{3}{2}}-\frac{2}{9}r^{-\frac{5}{3}}$

题目 43

题目

粒子的运动方程是 $s=t^3-3t$ ，其中 $s$ 的单位是 $m$ ，$t$ 的单位是 $s$ ，

$\mathbf{i}$ 求粒子的速度和加速度关于 $t$ 的函数。

$\mathbf{ii}$ 求 $2s$ 后粒子的加速度。

$\mathbf{iii}$ 求粒子速度为 $0$ 时的加速度。

解答

速度函数：$s'=3t^2-3$

加速度函数：$s''=6t$

$2s$ 后粒子加速度：$s''\bigg|_{t=2}=6\times2=12$

当$s'=0$ 时，$3t^2-3=0\implies t=1$

$s''\bigg|_{t=1}=6\times1=6$

题目 44

题目

在哪些点处的曲线 $y=x^3+3x^2-9x+10$ 的切线是水平的？切线是多少？

解答

$y'=3x^2+6x-9$

当 $y'=0$ 时，可以得到水平切线

$y'=3x^2+6x-9=0\implies x^2+2x-3=0$

$(x-1)(x+3)=0\implies x_{1}=1,x_{2}=-3$

$y_{1}\bigg|_{x=1}=1+3-9+10=5$

$y_{2}\bigg|_{x=-3}=-27+27+27+10=37$

在 $(1,5)$ 处的切线方程：$y=5$

在 $(-3,37)$ 处的切线方程：$y=37$

题目 45

题目

当 $x$ 为何值时，曲线 $f(x)=e^x-2x$ 的切线是水平线？

解答

$f'(x)=e^x-2$

当 $y'=0$ 时，可以得到水平切线

$f'(x)=e^x-2=0\implies x=\ln2$

当 $x=\ln 2$ ，存在水平切线

题目 46

题目

证明曲线 $y=2e^x+3x+5x^3$ 没有斜率为2的切线

解答

$y'=2e^x+3+15x^2$

$\because e^x >0,x^2\geqslant 0$

$\therefore y'>3,y\neq2$

$\therefore\text{不存在斜率为2的切线}$

题目 47

题目

求与曲线 $y=x^4+1$ 相切且平行于 $32x-y=15$ 的直线的方程。

解答

斜截式：$y=32x+15$

切线斜率：$y'=4x^3=32\implies x=2$

代入曲线方程，$y=2^4+1=17$ ，切点为 $(2,17)$

切线方程：$y-17=32(x-2)\implies y=32x-47$

题目 48

题目

求与曲线 $y=x^3-3x^2-3$ 相切且平行于直线 $3x-y=15$ 的直线方程。

解答

直线 $3x-y=15$ 的斜率为 $3$

$\therefore y'=3$

$y'=3x^2-6x=3\implies x^2-2x=1$

解方程 $x^2-2x=1$ ，可得：$x_{1}=\sqrt{ 2 }+1,x_{2}=-\sqrt{ 2 }+1$

代入曲线方程，得到 $y_{1}=-5-\sqrt{ 2 },y_{2}=\sqrt{ 2 }-5$

切线 $l_{1}: y-(-\sqrt{ 2 }-5)=3(x-\sqrt{ 2 }-1)$

化简后：$y=3x-4\sqrt{ 2 }-8$

切线 $l_{2}: y-(\sqrt{ 2 }-5)=3(x+\sqrt{ 2-1 })$

化简后：$y=3x+4\sqrt{ 2 }-8$

题目 49

题目

求平行于直线 $2x+y=1$ 的曲线 $y=\sqrt{ x }$ 的法线的方程。

解答

设存在一点在曲线 $y=\sqrt{ x }$ 上，过该点的法线与直线 $2x+y=1$ 平行

直线 $2x+y=1$ 的斜截式为：$y=1-2x$ ，法线斜率 $y'_{n}=-2$

$\text{切线斜率}y'\times\text{法线斜率}y'_{n}=-1$

切线斜率：$y'=\frac{1}{2}$

求切点：$y'=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\implies x=1$

代入曲线方程，$y=\sqrt{ 1 }=1$ ，切点为 $(1,1)$

法线方程：$y-1=-2(x-1)\implies y=-2x+3$

题目 50

题目

求二次函数 $P$ ，使得 $P(2)=5,P'(2)=3,P''(2)=2$ 。

解答

设二次函数 $P(x)=ax^2+bx+c$

$P'(x)=2ax+b$

$P''(x)=2a$

将 $P(2)=5,P'(2)=3,P''(2)=2$ 代入

可得：

$P(2)=4a+2b+c=5$

$P'(2)=4a+b=3$

$P''(2)=2a=2$

联立求解：

$a=1,b=-1,c=3$

$P(x)=x^2-x+3$

题目 51

题目

方程 $y''+y'-2y=x^2$ 称为微分方程，因为它包含一个未知数 $y$ 及其导数 $y'$ 和 $y''$ ，求函数 $y=Ax^2+Bx+C$ 满足该微分方程。

解答

$y'=2Ax+B$

$y''=2A$

将以上导数代入函数 $y$ 中

$2A+2Ax+B-2(Ax^2+Bx+C)=x^2$

化简后，

$(-2A-1)x^2+(2A-2B)x+(2A+B-2C)=0$

可得：

$-2A-1=0$

$2A-2B=0$

$2A+B-2C=0$

联立求解：

$A=-\frac{1}{2},B=-\frac{1}{2},C=-\frac{3}{4}$

得到：$y=-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x-\frac{3}{4}$

题目 52

题目

求三次函数 $y=ax^3+bx^2+cx+d$ ，它在点 $(-2,6),(2,0)$ 处的切线是水平的。

解答

先求出一阶导数：$y'=3ax^2+2bx+c$

将 $(-2,6)(2,0)$ 代入导函数中

可得：

$12a-4b+c=0$

$12a+4b+c=0$

可以求得：$b=0$

将 $(-2,6)(2,0)$ 代入三次函数中

可得：

$6=-8a-2c+d$

$0=8a+2c+d$

联立求解：

$a=\frac{3}{16},b=0,c=-\frac{4}{9},d=3$

三次函数为：$y=\frac{3}{16}x^3-\frac{9}{4}x+3$

题目 53

题目

求抛物线 $y=ax^2+bx$ ，它在点 $(1,1)$ 处的切线的方程为 $y=3x-2$

解答

一阶导数：$y'=2ax+b$

由切线方程可知，斜率为 $3$，且过点 $(1,1)$

可得：

$2a+b=3$

$1=a+b$

联立求解：

$a=2,b=-1$

抛物线为：$y=2x^2-x$

题目 54

题目

假设曲线 $y=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ 在 $x=0$ 处的切线的方程为 $y=2x+1$ ，在$x=1$ 处的切线的方程为 $y=2-3x$ ，求 该曲线方程。

解答

一阶导数：$y'=4x^3+3ax^2+2bx+c$

$y'\bigg|_{x=0}=c=2$

$y'\bigg|_{x=1}=4+3a+2b+c=-3$

设切点为 $(0,y_{1}),(1,y_{2})$

切线方程表示为：

$y-y_{1}=2(x-0)$

$y-y_{2}=-3(x-1)$

联立 $y=2x+1,y=2-3x$

可得：

$y_{1}=1,y_{2}=-1$

得到切点为 $(0,1),(1,-1)$

将切点代入曲线方程：

$1=0+a\times0+b\times 0+c\times 0+d$

$-1=1+a+b+c+d$

联立求解：

$a=1,b=-6,c=2,d=1$

曲线为：$y=x^4+x^3-6x^2+2x+1$

题目 55

题目

当 $x=2$ 时，直线 $2x+y=b$ 与抛物线 $y=ax^3$ 相切，求 $a$ 和 $b$ 的值。

解答

抛物线一阶导数：$y'=3ax^2$

切线斜率 $-2$

$y'\bigg|_{x=2}=3a\cdot 2^2=-2$

可得：$a=-\frac{1}{6}$

设切点为$(2,y_{1})$

$y_{1}=-\frac{1}{6}\times 2^3=-\frac{4}{3}$，切点为 $\left( 2,-\frac{4}{3} \right)$

将切点代入直线中

$b=2\times 2-\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$

最终求得：$a=-\frac{1}{6},b=\frac{8}{3}$

题目 56

题目

直线 $y=\frac{3}{2}x+6$ 与曲线 $y=c\sqrt{ x }$ 相切，求 $c$ 的值。

解答

曲线的导数为：$y'=\frac{1}{2}cx^{-\frac{1}{2}}$

切线斜率 $\frac{3}{2}$

可得：$\frac{3}{2}=\frac{1}{2}cx^{-1/2}\implies c=3x^{\frac{1}{2}}$

代入曲线中，

得到 $y=3x$ ，与 $y=\frac{3}{2}x+6$联立求解

求的切点： $(4,12)$

$c=3\times \sqrt{ 4 }=6$

题目 57

题目

直线 $y=2x+3$ 与抛物线 $y=cx^2$ 相切，求 $c$ 的值。

解答

抛物线导数：$y'=2cx\implies c=\frac{1}{x}$

代入曲线中，

得到 $y=x$ ，与直线 $y=2x+3$ 联立求解

求的切点：$(-3,-3)$

$c=-\frac{1}{3}$

题目 58

题目

任何二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c$ 的图像都是一条抛物线。证明抛物线在任意区间 $[p,q]$ 的端点处的切线的斜率的平均值等于抛物线在区间中点处的切线的斜率。

解答

求导得：$f'(x)=2ax+b$

设在区间两端的切线的斜率分别为 $k_{p},k_{q}$

$k_{p}=2ap+b$

$k_{q}=2aq+b$

区间的斜率平均值为：$\frac{k_{p}+k_{q}}{2}=\frac{1}{2}(2ap+b+2aq+b)=a(p+q)+b$

区间中点为：$x=\frac{p+q}{2}$

设区间中点处的切线的斜率为 $k_{mid}$

$k_{mid}=2a\cdot \frac{p+q}{2}+b=a(p+q)+b$

$\frac{k_{p}+k_{q}}{2}=k_{mid}$ ，原命题得证

题目 59

题目

求使 $f$ 处处可微的 $m$ 和 $b$ 的值。

$$f(x)= \begin{cases} x^2, & x\leqslant 2,\\ mx+b, & x>2. \end{cases}$$

解答

在 $x=2$ 处有：

左导数=右导数

$f'(2^-)=2x=2\times 2=4$

$f'(2^+)=m$

$\therefore m=4$

左极限=右极限

$\lim_{ x \to 2^- }x^2=4$

$\lim_{ x \to 2^+ }(4x+b)=8+b$

$\therefore b=-4$

最终求得：$m=4,b=-4$

题目 60

题目

求使给定函数 $g$ 在 $x=1$ 处可微的 $a$ 和 $b$ 的值。

$$g(x)= \begin{cases} ax^3-3x, & x\leqslant 1,\\ bx^2+2, & x>1. \end{cases}$$

解答

在 $x=1$ 处有：

左导数=右导数

$f'(1^-)=3ax^2-3=3a-3$

$f'(1^+)=2b$

可得：$3a-3=2b$

左极限=右极限

$\lim_{ x \to 1^- }(ax^3-3x)=a-3$

$\lim_{ x \to 1^+ }(bx^2+2)=b+2$

可得：$a-3=b+2$

联立求解：

$a=-7,b=-12$

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3.2 函数积与商的求导法则

函数积的求导法则

提示

• 函数积的求导法则：

$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)]=f(x) \frac{d}{dx}[g(x)]+g(x) \frac{d}{dx}[f(x)]$

• 函数商的求导法则： $\frac{d}{dx} \left[ \frac{f(x)}{g(x)} \right]= \frac{g(x) \frac{d}{dx}[f(x)]-f(x) \frac{d}{dx}[g(x)]}{[g(x)]^2}$ $\left( \frac{f}{g} \right)'= \frac{gf'-fg'}{g^2}$

3.2 习题

求下列导数

题目 1

题目

$y=(4x^2+3)(2x+5)$

解答

$y'=8x(2x+5)+2(4x^2+3)$

$y'=16x^2+40x+8x^2+6$

$y'=24x^2+40x+6$

题目 2

题目

$y=(10x^2+7x-2)(2-x^2)$

解答

$y=20x^2+14x-4-10x^4-7x^3+2x^2$

$y=22x^2+14x-7x^3-10x^4-4$

$y'=-40x^3-21x^2+44x+14$

题目 3

题目

$y=x^3e^x$

解答

$y'=3x^2e^x+x^3e^x$

$y'=x^2e^x(3+x)$

题目 4

题目

$y=(e^x+2)(2e^x-1)$

解答

$y'=e^x(2e^x-1)+(e^x+2)\cdot 2e^x$

$y'=4e^{2x}+3e^x$

题目 5

题目

$f(x)=(3x^2-5x)e^x$

解答

$y'=(6x-5)e^x+(3x^2-5x)e^x$

$y'=e^x(3x^2+x-5)$

求下列导数

题目 6

题目

$g(x)=(x+2\sqrt{ x })e^x$

解答

$g'(x)=\left( 1+x^{-\frac{1}{2}} \right)e^x+(x+2\sqrt{ x })e^x$

$g'(x)=e^x\left( 1+\frac{1}{\sqrt{ x }}+x+2\sqrt{ x } \right)$

题目 7

题目

$y=\frac{x}{e^x}$

解答

$y'=\frac{1}{e^{2x}}(e^x-xe^x)$

$y'=\frac{1}{e^x}(1-x)$

题目 8

题目

$y=\frac{e^x}{1-e^x}$

解答

$y'=\frac{1}{(1-e^x)^2}[e^x(1-e^x)-e^x(-e^x)]$

$y'=\frac{e^x}{(1-e^x)^2}$

题目 9

题目

$g(t)=\frac{3-2t}{5t+1}$

解答

$g'(t)=(5t+1)^{-2}[-2(5t+1)-5(3-2t)]$

$g'(t)=-17(5t+1)^{-2}$

题目 10

题目

$G(u)=\frac{6u^4-5u}{u+1}$

解答

$G'(u)=(u+1)^{-2}[(24u^3-5)(u+1)-(6u^4-5u)]$

$G'(u)=(u+1)^{-2}(18u^4+24u^3-5)$

求下列导数

题目 11

题目

$f(t)=\frac{5t}{t^3-t-1}$

解答

$f'(t)=(t^3-t-1)^{-2}[5(t^3-t-1)-5t(3t^2-1)]$

$f'(t)=(t^3-t-1)^{-2}(-10t^3-5)$

题目 12

题目

$F(x)=\frac{1}{2x^3-6x^2+5}$

解答

$F'(x)=(2x^3-6x^2+5)^{-2}[-(6x^2-12x)]$

题目 13

题目

$y=\frac{s-\sqrt{ s }}{s^2}$

解答

$y=s^{-1}-s^{-\frac{3}{2}}$

$y'=-s^{-2}+\frac{3}{2}s^{-\frac{5}{2}}$

题目 14

题目

$y=\frac{\sqrt{ x }}{\sqrt{ x }+1}$

解答

$y'=\frac{1}{2\sqrt{ x }(\sqrt{ x }+1)}$

题目 15

题目

$J(u)=\left( \frac{1}{u}+\frac{1}{u^2} \right)\left( u+\frac{1}{u} \right)$

解答

$J(u)=1+u^{-2}+u^{-1}+u^{-3}$

$J'(u)=-2u^{-3}-u^{-2}-3u^{-4}$

题目 16

题目

如果 $g(x)=\frac{x}{e^x}$ ，求 $g^{(n)}(x)$ 。

解答

$g'(x)=\frac{1-x}{e^x}$

$g''(x)=\frac{x-2}{e^x}$

$g'''(x)=\frac{3-x}{e^x}$

根据规律：

$g^{(n)}(x)=\frac{(-1)^n(x-n)}{e^x}$

题目 17

题目

设 $f(x)=e^xg(x)$ ，其中 $g(0)=2$ 且 $g'(0)=5$ ，求 $f'(0)$

解答

$f'(x)=e^xg(x)+e^xg'(x)$

$f'(0)=e^0g(0)+e^0g'(0)$

$f'(0)=2+5=7$

题目 18

题目

设 $h(2)=4,h'(2)=-3$ ，求 $\frac{d}{dx}\left( \frac{h(x)}{x} \right)\bigg|_{x=2}$

解答

$\left[ \frac{h(x)}{x} \right]'=x^{-2}[xh'(x)-h(x)]$

$\frac{d}{dx}\left( \frac{h(x)}{x} \right)\bigg|_{x=2}=\frac{1}{4}(-6-4)=-\frac{5}{2}$

题目 19

题目

求 $R'(0)$，其中

$$R(x)=\frac{x-3x^2+5x^5}{1+3x^3+6x^6+9x^9}$$

解答

令 $f(x)=x-3x^2+5x^5,g(x)=1+3x^3+6x^6+9x^9$

$\therefore f'(x)=1-6x+10x^4,g'(x)=9x^2+36x^5+81x^8$

$R(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$

$R'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$

$R'(0)=\frac{f'(0)g(0)-f(0)g'(0)}{[g(0)]^2}$

$f(0)=0,f'(0)=1,g(0)=1,g'(0)=0$

$\therefore R'(0)=1$

广义函数积的求导法则

题目 20

题目

函数积的求导法则可以推广到三个函数的积。

$\mathbf{i}$ 使用函数积的求导法则两次，证明：如果 $f$、$g$、$h$ 都可微，那么

$$(fgh)'=f'gh+fg'h+fgh'$$

$\mathbf{ii}$ 若 $f=g=h$，则有

$$\frac{d}{dx}[f(x)]^3=3[f(x)]^2f'(x)$$

$\mathbf{iii}$ 求 $y=e^{3x}$ 的导数。

解答

$\mathbf{i} \quad(fgh)'=((fg)h)'=(fg)'h+(fg)h'=fgh'+fg'h+fgh'$

$\mathbf{ii} \quad\because f=g=h,\therefore \frac{d}{dx}[f(x)]^3=fff'+fff'+fff'$

$\quad\quad\frac{d}{dx}[f(x)]^3=3f^2f'=3[f(x)]^2f'(x)$

$\mathbf{iii}\quad y'=(e^x\cdot e^x\cdot e^x)'=3e^{2x}e^x=3e^{3x}$

函数倒数的求导法则

题目 21

题目

如果 $g$ 是一个可微函数，则函数倒数的求导法则如下：

$$\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{g(x)}\right] =-\frac{g'(x)}{[g(x)]^2}$$

$\mathbf{i}$ 利用函数商求导法则证明该法则。

解答

$\mathbf{i}$

$$\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{g(x)}\right] =\frac{0-g'(x)}{[g(x)]^2}$$ $$\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{g(x)}\right] =-\frac{g'(x)}{[g(x)]^2}$$

---

3.3 三角函数的导数

三角函数的导数

提示 $\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x$ $\frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x$ $\frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2 x$ $\frac{d}{dx}(\csc x)=-\csc x\cot x$ $\frac{d}{dx}(\sec x)=\sec x\tan x$ $\frac{d}{dx}(\cot x)=-\csc^2x$

两个特殊的三角函数

提示 $\lim_{ \theta \to 0 } \frac{\sin\theta}{\theta}=1$ $\lim_{ \theta \to 0 } \frac{\cos\theta-1}{\theta}=0$

3.3 习题

求导下列函数

题目 1

题目

$f(x)=\tan x-4\sin x$

解答

$(\tan x)'=\sec^2x$

$(\sin x)'=\cos x$

$f'(x)=\sec^2x-4\cos x$

题目 2

题目

$y=2\sec x-\csc x$

解答

$(\sec x)'=\sec x\tan x$

$(\csc x)'=-\csc x\cot x$

$y'=2\sec x\tan x+\csc x\cot x$

题目 3

题目

$f(w)=\frac{1+\sec w}{1-\sec w}$

解答

$f'(w)=\frac{\sec w\tan x(1-\sec w)-(1+\sec w)(-\sec w\tan w)}{(1-\sec w)^2}$

$f'(w)=\frac{2\sec w\tan w}{(1-\sec w)^2}$

题目 4

题目

$f(t)=t e^t \cot t$

解答

$f'(t)=1\times e^t\cot t+t e^t\cot t+t e^t(-\csc^2t)$

$f'(t)=e^t\cot t+t e^t\cot t-t e^t\csc^2t$

求下列极限

题目 5

题目

$\lim_{ x \to 0 } \frac{\sin5x}{3x}$

解答

$\lim_{ x \to 0 } \frac{5}{3} \frac{\sin 5x}{5x}$

$=\frac{5}{3}\lim_{ x \to 0 } 1$

$=\frac{5}{3}$

题目 6

题目

$\lim_{ x \to 0 } \frac{\sin x}{\sin \pi x}$

解答

$\lim_{ x \to 0 } \frac{\frac{\sin x}{x}}{\frac{\sin \pi x}{\pi x}\pi}$

=$\frac{1}{\pi}$

题目 7

题目

$\lim_{ x \to 0 } \frac{\sin 3t}{\sin t}$

解答

$\lim_{ t \to 0 } \frac{3t\frac{\sin 3t}{3t}}{t\frac{\sin t}{t}}$

$=3$

题目 8

题目

$\lim_{ x \to 0 } \frac{\sin^2 3x}{x}$

解答

$\lim_{ x \to 0 } 9x\frac{\sin 3x}{3x} \frac{\sin 3x}{3x}$

$=0$

---

3.4 链式法则

链式法则

• 对于复合函数 $F(x)=f(x) \circ g(x)$ $F'(x)=f'[g(x)]\cdot g'(x)$

• 如果 $y=f(u),u=g(x),\text{则} \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$

• 幂函数求导法则结合链式法则 $\frac{d}{dx}(u^n)=n u^{n-1} \frac{du}{dx}$ $\frac{d}{dx}[g(x)]^n=n[g(x)]^{n-1}\cdot g'(x)$

一般指数函数导数

• 指数函数结合链式法则 $\frac{d}{dx}(b^x)=b^x \ln b$

3.4 习题

将下列复合函数表示 $f(g(x))$ 的形式，（内层函数为 $u=g(x)$，外层函数为 $y=f(u)$。）求导数 $\frac{dy}{dx}$ 。

题目 1

题目

$y=(5-x^4)^3$

解答

$u=g(x)=5-x^4$

$y=f(u)=u^3$

$\frac{dy}{dx}=3(5-x^4)^2(-4x^3)$

$\frac{dy}{dx}=-12x^3(5-x^4)^2$

题目 2

题目

$y=\sqrt{ x^3+2 }$

解答

$u=g(x)=x^3+2$

$y=f(u)=\sqrt{ u }$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}(x^3+2)^{-\frac{1}{2}}(3x^2)$

$\frac{dy}{dx}=\frac{3}{2}x^2(x^3+2)^{-\frac{1}{2}}$

题目 3

题目

$y=\tan(x^2)$

解答

$u=g(x)=x^2$

$y=f(u)=\tan u$

$\frac{dy}{dx}=2x \sec^2 x^2$

求下列函数的导数。

题目 4

题目

$f(x)=e^{x^2-x}$

解答

$f'(x)=(2x-1)e^{x^2-x}$

题目 5

题目

$f(t)=t\sin \pi t$

解答

$f'(t)=\sin \pi t+\pi t\cos \pi t$

题目 6

题目

$f(t)=e^{at}\sin bt$

解答

$f'(t)=ae^{at}\sin bt+be^{at}\cos bt$

题目 7

题目

$g(u)=\left( \frac{u^3-1}{u^3+1} \right)^8$

解答

$g'(u)=8\left( \frac{u^3-1}{u^3+1} \right)^7\cdot \frac{3u^2(u^3+1)-3u^2(u^3-1)}{(u^3+1)^2}$

题目 8

题目

$g(x)=\sin\left( \frac{e^x}{1+e^x} \right)$

解答

$g'(x)=\cos \left( \frac{e^x}{1+e^x} \right)\cdot \frac{e^x(1+e^x)-e^{2x}}{(1+e^x)^2}$

$g'(x)=\cos \left( \frac{e^x}{1+e^x} \right)\cdot \frac{e^x}{(1+e^x)^2}$

题目 9

题目

$f(x)=e^{\sin^2(x^2)}$

解答

$f'(x)=e^{\sin^2(x^2)}\cdot 2\sin(x^2)\cdot \cos (x^2)\cdot 2x$

$f'(x)=4x\sin(x^2)\cos(x^2)e^{\sin^2(x^2)}$

$f'(x)=2x\sin(2x^2)e^{\sin^2(x^2)}$

题目 10

题目

$G(z)=(1-4z)^2\sqrt{ z^2+1 }$

解答

$G'(z)=2(1-4z)\cdot(-4)\sqrt{ x^2+1 }+(1-4z)^2\cdot \frac{1}{2}(z^2+1)^{-\frac{1}{2}}\cdot 2z$

$G'(z)=-8(1-4z)\sqrt{ z^2+1 }+z(1-4z)^2(z^2+1)^{-\frac{1}{2}}$

$G'(z)=\frac{-8(1-4z)(z^2+1)+z(1-4z^2)}{\sqrt{ z^2+1 }}$

$G'(z)=\frac{48z^3-16z^2+33z-8}{\sqrt{ z^2+1 }}$

题目 11

题目

$y=\sin^3(\cos(x^2))$

解答

$y'=3\sin^2(\cos(x^2))\cdot \cos(\cos(x^2))\cdot (-\sin(x^2))\cdot 2x$

$y'=6x\sin^2(\cos(x^2))\cdot \cos(\cos(x^2))\cdot (-\sin(x^2))$

题目 12

题目

证明 $y=e^{2x}(A\cos 3x+B\sin 3x)$ 满足微分方程 $y''-4y'+13y=0$

解答

$y'=e^{2x}[(2A+3B)\cos 3x+(2B-3A)\sin 3x]$

$y''=e^{2x}[(-5A+12B)\cos 3x+(-5B-12A)\sin 3x]$

把 $y'$ 和 $y''$ 代入 $y''-4y'+13y=0$ 中

最终可以证明微分方程成立

---

3.5 隐函数求导法

隐函数

• 例如：笛卡儿叶形线，$x^3+y^3=6xy$ ，无法解出 $y$ 关于 $x$ 的显示方程，我们称此为隐函数。
• 即： $x^3+[f(x)]^3=6x f(x)$

隐函数求导法

• 我们不需要用 $x$ 表示 $y$ 来求出 $y$ 的导数，而是采用隐函数求导法。
• 例1：如果 $x^2+y^2=25$ ，求 $\frac{dy}{dx}$ 。求圆 $x^2+y^2=25$ 在点 $(3,4)$ 处的切线方程。
  • 解：在方程 $x^2+y^2=25$ 的两边求关于 $x$ 的导数：
  • $\frac{d}{dx}(x^2+y^2)=\frac{d}{dx}(25)$
  • $\frac{d}{dx}(x^2)+\frac{d}{dx}(y^2)=0$
  • $y$ 是 $x$ 的函数，应用链式法则可得
  • $\frac{d}{dx}(y^2)=\frac{d}{dy}(y^2)\cdot \frac{dy}{dx}=2y \frac{dy}{dx}$
  • 因此
  • $2x+2y\cdot \frac{dy}{dx}=0$
  • 得到
  • $\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$
  • 在点 $(3,4)$ 处有
  • $\frac{dy}{dx}=-\frac{3}{4}$
  • 所以，在 $(3,4)$ 处的切线方程是
  • $y-4=-\frac{3}{4}(x-3)$
• 例2:已知 $\sin(x+y)=y^2\cos x$ ，求 $y'$ 。
  • 解：$y$ 是 $x$ 的函数，应用链式法则可得
  • $\cos(x+y)(1+y')=-y^2\sin x+\cos x\cdot 2y\cdot y'$
  • $\cos(x+y)+\cos(x+y)\cdot y'=-y^2\sin x+2y\cdot y'\cos x$
  • $y'= \frac{y^2\sin x+\cos(x+y)}{2y\cos x-\cos(x+y)}$

隐函数的二阶导数

• 例1：已知 $x^4+y^4=16$ ，求 $y''$ 。
  • 解：$y$ 是 $x$ 的函数，应用链式法则可得
  • $4x^3+4y^3\cdot y'=0$
  • $y'=-\frac{x^3}{y^3}$
  • 继续求导，
  • $y''=\frac{y^3\cdot 3x^2-x^2\cdot 3y^2\cdot y'}{y^6}$
  • 代入 $y'$ ，
  • $y''=\frac{y^3\cdot 3x^2-x^2\cdot 3y^2\cdot (-\frac{x^3}{y^3})}{y^6}$
  • $y''=-\frac{3x^2(y^4+x^4)}{y^7}$
  • 将$x^4+y^4=16$ 代入，
  • $y''=\frac{48x^2}{y^7}$

3.5 习题

利用隐函数求导法求 $y'$ 。

题目 1

题目

$5x^2-y^3=7$

解答

$10x-3y^2\cdot y'=0$

$y'=\frac{10x}{3y^2}$

题目 2

题目

$6x^4+y^5=2x$

解答

$24x^3+4y^4\cdot y'=2$

$y'=\frac{2-24x^3}{4y^4}$

$y'=\frac{1-12x^3}{2y^4}$

题目 3

题目

$\sqrt{ x }+\sqrt{ y }=1$

解答

$x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}}=1$

$\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}y^{-\frac{1}{2}}\cdot y'=0$

$y'=-\frac{x^{-\frac{1}{2}}}{y^{-\frac{1}{2}}}=-\sqrt{ \frac{y}{x} }$

题目 4

题目

$\frac{2}{x}-\frac{1}{y}=4$

解答

$2x^{-1}-y^{-1}=4$

$-2x^{-2}+y^{-2}\cdot y'=0$

$y'=\frac{y^{-2}}{2x^{-2}}$

利用隐函数求导法求 $\frac{dy}{dx}$ 。

题目 5

题目

$x^2-4xy+y^2=4$

解答

$2x-4y-4x \frac{dy}{dx}+2y \frac{dy}{dx}=0$

$(2y-4x) \frac{dy}{dx}=4y-2x$

$\frac{dy}{dx}=\frac{2y-x}{y-2x}$

题目 6

题目

$2x^2+xy-y^2=2$

解答

$4x+x \frac{dy}{dx}+y-2y \frac{dy}{dx}=0$

$(x-2y) \frac{dy}{dx}=-4x-y$

$\frac{dy}{dx}=\frac{-4x-y}{x-2y}$

题目 7

题目

$x^4+x^2y^2+y^3=5$

解答

$4x^3+2xy^2+x^2\cdot 2y \frac{dy}{dx}+3y^2 \frac{dy}{dx}=0$

$(2x^2y+3y^2) \frac{dy}{dx}=-4x^3-2xy^2$

$\frac{dy}{dx}=\frac{-4x^3-2xy^2}{2x^2y+3y^2}$

题目 8

题目

$x^3-xy^2+y^3=1$

解答

$3x^2-\left( y^2+2xy \frac{dy}{dx} \right)+3y^2 \frac{dy}{dx}=0$

$(3y^2-2xy) \frac{dy}{dx}=y^2-3x^2$

$\frac{dy}{dx}=\frac{y^2-3x^2}{3y^2-2xy}$

题目 9

题目

$\frac{x^2}{x+y}=y^2+1$

解答

$x^2=(y^2+1)(x+y)$

$x^2=xy^2+y^3+x+y$

$2x=y^2+2xy \frac{dy}{dx}+3y^2 \frac{dy}{dx}+1+\frac{dy}{dx}$

$2x-y^2-1=(2xy+3y^2+1) \frac{dy}{dx}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{2x-y^2-1}{2xy+3y^2+1}$

题目 10

题目

$xe^y=x-y$

解答

$e^y+xe^y\cdot \frac{dy}{dx}=1-\frac{dy}{dx}$

$(xe^y+1) \frac{dy}{dx}=1-e^y$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1-e^y}{xe^y+1}$

题目 11

题目

$\sin x+\cos y=2x-3y$

解答

$\cos x-\sin y\cdot \frac{dy}{dx}=2-3 \frac{dy}{dx}$

$(3-\sin y) \frac{dy}{dx}=2-\cos x$

$\frac{dy}{dx}=\frac{2-\cos x}{3-\sin y}$

题目 12

题目

$e^x\sin y=x+y$

解答

$e^x\cos y \cdot \frac{dy}{dx}+e^x\sin y=1+\frac{dy}{dx}$

$(e^x\cos y-1) \frac{dy}{dx}=1-e^x\sin y$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1-e^x\sin y}{e^x\cos y-1}$

利用隐函数求导法求 $\frac{dy}{dx}$ 。

题目 13

题目

$\sin(x+y)=\cos x +\cos y$

解答

$\cos(x+y)\cdot \left( 1+\frac{dy}{dx} \right)=-\sin x-\sin y\cdot \frac{dy}{dx}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{-\cos(x+y)-\sin x}{\cos(x+y)+\sin y}$

题目 14

题目

$\tan(x-y)=2xy+1$

解答

$\sec^2(x+y)\cdot\left( 1-\frac{dy}{dx} \right)=2\left( y+x \frac{dy}{dx} \right)$

$\frac{dy}{dx}=\frac{2y-\sec^2(x+y)}{-2x-\sec^2(x+y)}$

题目 15

题目

$y\cos x=x^2+y^2$

解答

$\frac{dy}{dx}\cos x-y\sin x=2x+2y \frac{dy}{dx}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{2x+y\sin x}{\cos x-2y}$

题目 16

题目

$\sin(xy)=\cos(x+y)$

解答

$\cos(xy)\cdot\left( y+x \frac{dy}{dx} \right)=-\sin(x+y)\cdot\left( 1+\frac{dy}{dx} \right)$

$\frac{dy}{dx}=\frac{-\sin(x+y)-y\cos(xy)}{x\cos(xy)+\sin(x+y)}$

题目 17

题目

$2xe^y+ye^x=3$

解答

$2\left( e^y+xe^y\cdot \frac{dy}{dx} \right)+e^x\cdot \frac{dy}{dx}+ye^x=0$

$\frac{dy}{dx}=\frac{-ye^x-2e^y}{2xe^y+e^x}$

题目 18

题目

$\sin x\cos y=x^2-5y$

解答

$\cos x \cos y-\sin x\cos y \cdot \frac{dy}{dx}=2x-5 \frac{dy}{dx}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{2x-\cos x\cos y}{5-\sin x\cos y}$

题目 19

题目

$\sqrt{ x+y }=x^4+y^4$

解答

$\frac{1}{2} (x+y)^{-\frac{1}{2}}\cdot\left( 1+\frac{dy}{dx} \right)=4x^3+4y^3 \frac{dy}{dx}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{4x^3-\frac{1}{2}(x+y)^{-\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}(x+y)^{-\frac{1}{2}}-4y^3}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{8x^3 \cdot \sqrt{ x+y }-1}{1-8y^3 \cdot\sqrt{ x+y }}$

题目 20

题目

$xy=\sqrt{ x^2+y^2 }$

解答

$y+ x \frac{dy}{dx}= \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{ x^2+y^2 }}\cdot (2x+2y \frac{dy}{dx})$

$\frac{dy}{dx}=\frac{x-y\sqrt{ x^2+y^2 }}{x\sqrt{ x^2+y^2 }-y}$

题目 21

题目

$e^{\frac{x}{y}}=x-y$

解答

$e^{\frac{x}{y}}\cdot \left( \frac{y-x \frac{dy}{dx}}{y^2} \right)=1-\frac{dy}{dx}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{y^2-ye^{\frac{x}{y}}}{y^2-xe^{\frac{x}{y}}}$

题目 22

题目

$\cos(x^2+y^2)=xe^y$

解答

$-\sin(x^2+y^2)\cdot\left( 2x+2y \frac{dy}{dx} \right)=e^y+xe^y \frac{dy}{dx}$

$\frac{dy}{dx}= \frac{e^y+2x\sin(x^2+y^2)}{-xe^y-2y\sin(x^2+y^2)}$

题目 23

题目

设 $f(x)+x^2[f(x)]^3=10$ ，$f(1)=2$ ，求 $f'(1)$ 。

解答

$f'(x)+2x[f(x)]^3+3x^2[f(x)]^2f'(x)=0$

$f'(x)=-\frac{2x[f(x)]^3}{1+3x^2[f(x)]^2}$

$f'(1)=-\frac{16}{13}$

题目 24

题目

设 $g(x)+x\sin g(x)=x^2$ ，求 $g'(x)$ 。

解答

$g'(x)+\sin g(x)+x\cos g(x)\cdot g'(x)=2x$

$g'(x)=\frac{2x-\sin g(x)}{1+x\cos g(x)}$

下列函数中，自变量为 $y$ ，因变量为 $x$ 利用隐函数求导法求 $\frac{dx}{dy}$。

题目 25

题目

$x^4y^2-x^3y+2xy^3=0$

解答

$4x^3y^2 \frac{dx}{dy}+x^4\cdot 2y-\left( 3x^2y \frac{dx}{dy}+x^3 \right)+2y^3 \frac{dx}{dy}+2x\cdot 3y^2=0$

$\frac{dx}{dy}=\frac{-2x^4y+x^3-6xy^2}{4x^3y^2-3x^2y+2y^3}$

题目 26

题目

$y\sec x=x\tan y$

解答

$\sec x+y\sec x\tan x \cdot \frac{dx}{dy}=\tan y \cdot \frac{dx}{dy}+x\sec^2y$

$\frac{dx}{dy}=\frac{x\sec^2y-\sec x}{y\sec x\tan x-\tan y}$

利用隐函数求导法求出曲线在给定点处的切线的方程。

题目 27

题目

$ye^{\sin x}=x\cos y,\quad(0,0)$

解答

$e^{\sin x}y'+ye^{\sin x}\cos x=\cos y-x\sin y\cdot y'$

$y'=\frac{\cos y-ye^{\sin x}\cos x}{e^{\sin x}+x\sin y}$

$y'\bigg|_{(0,0)}=\frac{\cos 0-0}{e^0+0}=1$

切线方程：$y=x$

题目 28

题目

$\tan(x+y)+\sec(x-y)=2,\quad \left( \frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{8} \right)$

解答

$\sec^2(x+y)\cdot (1+y')+\sec(x-y)\tan(x-y)\cdot(1-y')=0$

$\sec^2\left( \frac{\pi}{4} \right)\cdot(1+y')+0=0$

$2(1+y')=0\Leftrightarrow y'=-1$

$y-\frac{\pi}{8}=-\left( x-\frac{\pi}{8} \right)$

$y=-x+\frac{\pi}{4}$

题目 29

题目

$x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=4,\quad(-3\sqrt{ 3 },1)$

解答

解：·

$\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}+\frac{2}{3}y^{-\frac{1}{3}}\cdot y'=0$

$y'=-\frac{y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}=\frac{1}{27^{\frac{1}{6}}}=\frac{\sqrt{ 3 }}{3}$

$y-1=\frac{\sqrt{ 3 }}{3}(x+3\sqrt{ 3 })$

$y=\frac{\sqrt{ 3 }}{3}x+4$

---

3.6 对数函数与反三角函数的导数

对数函数的导数

提示 $\frac{d}{dx}(\log _{b}x)=\frac{1}{x\ln b}$ $\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}$ $\frac{d}{dx}[\ln g(x)]=\frac{g'(x)}{g(x)}$ $\frac{d}{dx}\ln |x|=\frac{1}{x}$

对数求导法

提示

对数求导法的步骤

1）在方程 $y=f(x)$ 两边同时取自然对数，并利用对数运算法则化简。 2）求关于 $x$ 的导数。 3）解方程，求 $y'$ ，并用 $f(x)$ 替换 $y$ 。

将数e表示为极限

提示 $e=\lim_{ x \to 0 }(1+x)^{\frac{1}{x}}$ $e=\lim_{ x \to \infty }\left( 1+\frac{1}{x} \right)^x$

反三角函数的导数

提示 $\frac{d}{dx}(\sin^{-1}x)=\frac{d}{dx}(\arcsin x)=\frac{1}{\sqrt{ 1-x^2 }}$ $\frac{d}{dx}(\cos^{-1}x)=\frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{ 1-x^2 }}$ $\frac{d}{dx}(\tan^{-1}x)=\frac{d}{dx}(\arctan x)=\frac{1}{1+x^2}$ $\frac{d}{dx}(\cot^{-1}x)=-\frac{1}{1+x^2}$ $\frac{d}{dx}(\csc^{-1}x)=-\frac{1}{x\sqrt{ x^2-1 }}$ $\frac{d}{dx}(\sec^{-1}x)=\frac{1}{x\sqrt{ x^2-1 }}$

3.6 习题

求下列函数导数

题目 1

题目

$g(t)=\ln(3+t^2)$

解答

$g'(t)=\frac{2t}{3+t^2}$

题目 2

题目

$f(x)=\ln(x^2+3x+5)$

解答

$f'(x)=\frac{2x+3}{x^2+3x+5}$

题目 3

题目

$F(t)=(\ln t)^2\sin t$

解答

$F'(t)=2\ln t\cdot \frac{1}{t} \sin t +(\ln t)^2\cos t$

题目 4

题目

$y=\log_{8}(x^2+3x)$

解答

$y'=\frac{2x+3}{(x^2+3x)\ln 8}$

题目 5

题目

$g(t)=\ln \frac{t(t^2+1)^4}{\sqrt[3]{ 2t-1 }}$

解答

$g(t)=\ln t+4\ln(t^2+1)-\frac{3}{2}\ln(2t-1)$

$g'(t)=\frac{1}{t}+\frac{8t}{t^2+1}-\frac{3}{2t-1}$

题目 6

题目

$y=\log_{2}(x\log_{5}x)$

解答

$y'=\frac{1}{x\log_{5}x\cdot\ln 2} \left( \log_{5}x+x\cdot \frac{1}{x\ln 5} \right)$

换底公式：$\log_{5}x=\frac{\ln x}{\ln 5}$

$y'=\frac{1}{x\ln 2} \frac{\ln 5}{\ln x}\left( \frac{\ln x}{\ln 5}+\frac{1}{\ln 5} \right)$

$y'=\frac{\ln x+1}{x\ln 2+\ln x}$

题目 7

题目

证明：$\frac{d}{dx}\ln(x+\sqrt{ x^2+1 })=\frac{1}{\sqrt{ x^2+1 }}$

解答

$y'=\frac{1}{x+\sqrt{ x^2+1 }}\left[ 1+2x \cdot\frac{1}{2}(x^2+1)^{-\frac{1}{2}} \right]$

$y'=\frac{1}{x+\sqrt{ x^2+1 }}\cdot \frac{\sqrt{ x^2+1 }+x}{\sqrt{ x^2+1 }}$

$y'=\frac{1}{\sqrt{ x^2+1 }}$

用对数求导法则求下列函数的导数

题目 8

题目

$y=(x^2+2)^2(x^4+4)^4$

解答

$\ln y=2\ln(x^2+2)+4\ln(x^4+4)$

$y'=\left( \frac{4x}{x^2+2}+\frac{16x^3}{x^4+4} \right)(x^2+2)^2(x^4+4)^4$

$y'=4x(x^2+2)(x^4+4)^4+16x^3(x^2+2)^2(x^4+4)^3$

题目 9

题目

$y=\frac{e^{-x}\cos^2x}{x^2+x+1}$

解答

$\ln y=-x+2\ln \cos x-\ln(x^2+x+1)$

$y'=\left( -1-2\tan x-\frac{2x+1}{x^2+x+1} \right)\left( \frac{e^{-x}\cos^2x}{x^2+x+1} \right)$

题目 10

题目

$y=\sqrt{ x }\cdot e^{x^2-x}(x+1)^{\frac{2}{3}}$

解答

$\ln y=\frac{1}{2}\ln x+x^2-x+\frac{2}{3}\ln(x+1)$

$y'=\left( \frac{1}{2x}+2x-1+\frac{2}{3(x+1)} \right)\sqrt{ x }e^{x^2-x}(x+1)^{\frac{2}{3}}$

题目 11

题目

$y=(\sin x)^{\ln x}$

解答

$\ln y=\ln x\cdot \ln \sin x$

$y'=\left( \frac{\ln \sin x}{x}+\ln x \frac{\cos x}{\sin x} \right)\cdot (\sin x)^{\ln x}$

求下列函数导数

题目 12

题目

$f(x)=\sin^{-1}(5x)$

解答

$f'(x)=\frac{5}{\sqrt{ 1-25x^2 }}$

题目 13

题目

$g(x)=\sec^{-1}(e^x)$

解答

$g'(x)=\frac{e^x}{e^x\sqrt{ e^{2x}-1 }}=\frac{1}{\sqrt{ e^{2x}-1 }}$

题目 14

题目

$y=\tan^{-1}\sqrt{ x-1 }$

解答

$y'=\frac{1}{1+(\sqrt{ x-1 })^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{ x-1 }}$

$y'=\frac{1}{2x\sqrt{ x-1 }}$

题目 15

题目

$y=\cos^{-1}(\sin^{-1}t)$

解答

$y'=-\frac{1}{\sqrt{ 1-(\sin^{-1}t)^2 }}\cdot \frac{1}{\sqrt{ 1-t^2 }}$

反函数的导数

题目 16

题目

假设 $f$ 是一个可微函数，它的反函数 $f^{-1}$ 也是可微的，利用隐函数求导法则证明：

$(f^{-1})(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$

解答

反函数：$y=f^{-1}(x)\implies x=f(y)$

$1=f'(y)\cdot \frac{dy}{dx}$

$(f^{-1})'(x)=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f'(y)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$

题目 17

题目

如果 $f(4)=5,f'(4)=\frac{2}{3}$ ，求 $(f^{-1})'(5)$

解答

$f(4)=5\implies 4=f^{-1}(5)$

$(f^{-1})'(5)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$

$=\frac{1}{f'(f^{-1}(5))}=\frac{1}{f'(4)}=\frac{3}{2}$

---

3.7 自然科学和社会科学中的变化率

物理学中的变化率

• 速度和加速度 $s=f(t)$ $v=s'=\frac{ds}{dt}$ $a=v'=s''=\frac{d^2s}{dt^2}$
• 物理学中的速度、密度、电流、功率和温度梯度，化学中的反应速率和压缩率，生物学中的生长速度和血液流速梯度，经济学中的边际成本和边际利润，地质学中的热传导率，心理学中的成绩提高率，社会学中的传闻传播速度，这些都是数学中一个简单的概念-导数应用的特殊场景。

---

3.8 指数级增长和衰减

引文

许多自然现象中，量的增长或衰减的速度与他们的大小成正比。例如，如果 $y=f(t)$ 是在 $t$ 时动物或细菌种群的个体数量，那么似乎合理地预期增长率 $f'(t)$ 与种群规模 $f(t)$ 成正比。

$y(t)=y(0)e^{kt}$

种群增长

• $P(t)$ 是 $t$ 时的种群规模，于是： $\frac{dP}{dt}=kP$
• 其中 $\frac{dP/dt}{P}$ 是增长率除以种群规模，称为相对增长率。

放射性衰变

• 放射性物质通过自发向外辐射而衰变。如果 $m(t)$ 是初始质量为 $m_{0}$ 的物质在 $t$ 时剩余的质量，那么相对衰变率： $m(t)=m_{0}e^{kt}$

牛顿冷却定律

• 牛顿冷却定律指出，物质的冷却速度和物体与周围环境的温度成正比，不过这个温差不能太大。 $\frac{dT}{dt}=k(T-T_{s})$
• 其中 $T_{s}$ 为周围环境的温度，$k$ 是常数。

连续复利

• 一笔投资为 $A_{0}$ ，利率为 $r$ ，$n$ 为复利周期，则： $A=A_{0}\left( 1+\frac{r}{n} \right)^{nt}$

3.9 相关变化率

小结

解题的基本策略

1、仔细读题。 2、如果可以，画出大致图像。 3、引入符号，梳理变量之间的关系。 4、用导数表示已知信息和所求的变化率。 5、写出方程，把各个变量联系起来。 6、结合已知信息，用链式法则求导数。

3.10 线性近似与微分

线性化和近似

• 用 $(a,f(a))$ 处的切线作为 $x$ 在 $a$ 附近时曲线 $y=f(x)$ 的近似。这条切线的方程是： $y=f(a)+f'(a)(x-a)$

提示

• 线性函数的图像就是这条切线：

$L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$

• 称为 $f$ 在 $a$ 处的线性化表示，近似 $f(x)\approx L(x)$，叫做 $f(x)$ 在 $a$ 处的线性近似或切线近似： $f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)$

在物理学中的应用

引文

在物理学中经常用到线性近似，为了简化函数，物理学家需要用函数的线性近似来代替它。

等价代换的原则

• 1. 乘除关系可以换
  • $\text{若 }\alpha\sim\alpha_1,\beta\sim\beta_1,\text{则}\lim\frac\alpha\beta=\lim\frac{\alpha_1}\beta=\mathbf{lim}\frac\alpha{\beta_1}=\mathbf{lim}\frac{\alpha_1}{\beta_1}$
• 2. 加减关系在一定条件下可以换
  • 减法
    • $\text{若 }\alpha{\sim}\alpha_1,\beta{\sim}\beta_1,\text{且 }\lim\frac{\alpha_1}{\beta_1}=A\neq1.\text{ 则 }\alpha{-}\beta{\sim}\alpha_1{-}\beta_1$
    • 减法换的条件：两个减法项不等价，A 不等于 1；
    • 比如：$sin2x - tanx$ ~ $2x - x$
  • 加法
    • $\text{若}\alpha{\sim}\alpha_1,\beta{\sim}\beta_1,\text{且 }\lim\frac{\alpha_1}{\beta_1}=A\neq-1.\text{ 则 }\alpha{-}\beta{\sim}\alpha_1{+}\beta_1$
    • 减法换的条件：两个加法项不等价，A 不等于 -1；

微分

引文

线形近似可以通过微分表达。

取 $y=f(x)$ ，其中 $f$ 是可微函数。

• 微分 $dy$ 定义： $dy=f'(x)dx$

因此 $dy$ 是因变量，它依赖于 $x$ 和 $dx$ 。

小结

当 $x \to 0$ 时，等价无穷小：

$$\begin{aligned} &x\sim\sin x\sim\tan x\sim\arcsin x\sim\arctan x\sim\ln(1+x)\sim e^x-1\\ &{(1+x)^a-1}\sim{ax},\quad a^x-1\sim x\ln a, \\ &1-\cos x\sim\frac12x^2,\quad x-\ln(1+x)\sim\frac12x^2 \\ &\arcsin x-x\sim x-\sin x\sim\frac16x^3,\quad\tan x-x\sim\frac13x^3 \\ &\log^{a}(1+2x)\sim(2x)^{a}=2^{a}x^{a} \\ &(1-ax)^{\frac{1}{\alpha}}\sim(\frac{1}{2}x^{2})^{\frac{1}{\alpha}} \end{aligned}$$

泰勒多项式

• 为了取代 $f(x)$ 在 $x=a$ 附近的线性近似，我们尝试求出一个更好的高次多项式作为近似：

$T_{n}(x)=c_{0}+c_{1}(x-a)+c_{2}(x-a)^2+c_{3}(x-a)^3+\dots +c_{n}(x-a)^n$

• 在 $a=0$ 处的展开：

小结

• 泰勒展开：

$$\begin{aligned} &\sin x=x-\frac1{6}x^3+o\left(x^3\right) \\ &\arcsin x=x+\frac16x^3+o\left(x^3\right) \\ &\tan x=x+\frac13x^3+o\left(x^3\right) \\ &\arctan x=x-\frac13x^3+o\left(x^3\right) \\ &\cos x=1-\frac1{2!}x^2+\frac1{4!}x^4+o\left(x^4\right) \\ &\mathrm{e}^x=1+x+\frac1{2!}x^2+\frac1{3!}x^3+o\left(x^3\right) \\ &\ln\left(1+x\right)=x-\frac12x^2+\frac13x^3+o\left(x^3\right) \\ &\left(1+x\right)^\alpha =1+\alpha x+\frac{\alpha\left(\alpha-1\right)}{2!}x^2 +\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3+o\left(x^3\right) \end{aligned}$$

3.11 双曲函数

双曲函数及其导数

引文

指数函数 $e^x$ 和 $e^{-x}$ 的某些组合在数学及其应用中出现频繁，它们获得了特定的名字。 在很多方面，它们和三角函数相似，取名为双曲函数。

双曲函数的定义

$\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ $\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$

提示

双曲函数之间的关系

$\tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}$

提示

双曲恒等式

$\sinh(-x)=-\sinh x$ $\cosh(-x)=\cosh x$ $\cosh^2x-\sinh^2x=1$ $1-\tanh^2x=sech^2x$ $\sinh(x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x \sinh y$ $\cosh(x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y$

提示

双曲函数的导数

$\frac{d}{dx}(\sinh x)=\cosh x$ $\frac{d}{dx}(\cosh x)=\sinh x$ $\frac{d}{dx}(\tanh x)=sech^2x$ $\frac{d}{dx}(\coth x)=-csch^2x$ $\frac{d}{dx}(csch x)=-cschx\coth x$ $\frac{d}{dx}(sechx)=-sechx\tanh x$

提示 反双曲函数的导数 $\frac{d}{dx}(\sinh^{-1}x)=\frac{1}{\sqrt{ 1+x^2 }}$ $\frac{d}{dx}(\cosh^{-1}x)=\frac{1}{\sqrt{ x^2-1}}$ $\frac{d}{dx}(\tanh^{-1}x)=\frac{1}{1-x^2}$ $\frac{d}{dx}(\coth^{-1}x)=\frac{1}{1-x^2}$ $\frac{d}{dx}(csch^{-1}x)=-\frac{1}{|x|\sqrt{ x^2-1 }}$ $\frac{d}{dx}(sech^{-1}x)=-\frac{1}{x\sqrt{ x^2-1 }}$

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第三章复习

计算下列函数的导数。

题目 1

题目

$$y=\frac{\tan x}{1+\cos x}$$

解答

利用商法则：

$$y' = \frac{\sec^2x(1+\cos x)+\tan x\sin x} {(1+\cos x)^2}.$$

题目 2

题目

$$y=e^{mx}\cos nx$$

解答

$$y'=me^{mx}\cos nx-ne^{mx}\sin nx.$$

题目 3

题目

$$y=\ln(x\ln x)$$

解答

$$y' =\frac{\ln x+1}{x\ln x}.$$

题目 4

题目

$$y+x\cos y=x^2y$$

解答

两边对 $x$ 求导：

$$y'+\cos y-x\sin y\cdot y' =2xy+x^2y'.$$

整理得

$$y' =\frac{2xy-\cos y}{1-x^2-x\sin y}.$$

题目 5

题目

$$\sin(xy)=x^2-y$$

解答

$$\cos(xy)(y+xy')=2x-y'.$$

因此

$$y' =\frac{2x-y\cos(xy)}{x\cos(xy)+1}.$$

题目 6

题目

$$y=\log_5(1+2x)$$

解答

$$y'=\frac{2}{(1+2x)\ln 5}.$$

题目 7

题目

$$y=(\cos x)^x$$

解答

使用对数求导：

$$\ln y=x\ln(\cos x).$$

所以

$$y' =(\cos x)^x\left[\ln(\cos x)-x\tan x\right].$$

题目 8

题目

$$y=\ln(\arcsin x^2)$$

解答

$$y' =\frac{2x} {\arcsin(x^2)\sqrt{1-x^4}}.$$

题目 9

题目

$$y=\cosh^{-1}(\sinh x)$$

解答

$$y' =\frac{\cosh x} {\sqrt{\sinh^2x-1}}.$$

题目 10

题目

$$y=x\tanh^{-1}\sqrt{x}$$

解答

利用乘积法则：

$$\begin{aligned} y' &=\tanh^{-1}\sqrt{x} +x\cdot\frac{1}{1-x}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}\\ &=\tanh^{-1}\sqrt{x} +\frac{\sqrt{x}}{2(1-x)}. \end{aligned}$$

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本章总结

• 幂、指数、三角、对数与反三角函数构成常用求导公式表。
• 乘积法则、商法则和链式法则把基本公式扩展到复杂函数。
• 隐函数求导允许直接从变量关系中求变化率。
• 相关变化率问题的核心是先建立变量关系，再对时间求导。
• 线性化用切线在局部近似函数，是误差分析与数值计算的基础。