第五章：积分

《斯图尔特微积分》第五章：积分读书笔记。本章从面积和距离的求和问题出发建立定积分，并通过微积分基本定理揭示微分与积分互为逆过程的核心关系。

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小节	核心问题	需要掌握的内容
5.1 面积与距离	如何用有限近似逼近连续总量？	矩形近似、黎曼和、面积、距离
5.2 定积分	怎样定义连续累积量？	定积分定义、求和公式、积分性质
5.3 微积分基本定理	导数与积分为什么互逆？	变上限积分、积分求值公式
5.4 不定积分与净变化定理	怎样从变化率恢复总变化？	原函数、不定积分、净变化
5.5 换元法	复合结构的积分怎样化简？	不定积分换元、定积分换元、对称性

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5.1 面积与距离

引文

本章通过讨论面积问题与距离问题介绍微积分另一个中心思想——积分，微积分基本定理对导数和积分之间的重要关系进行了表述，即微分运算和积分运算在某种意义上是互逆的过程。

面积问题

定义｜连续函数 $f$ 的图像下方区域 $S$ 的面积 $A$ 是其近似矩形的面积之和的极限： $A=\lim_{ n \to +\infty } R_{n}=\lim_{ n \to +\infty } [f(x_{1})\Delta x+f(x_{2})\Delta x+\dots +f(x_{n})\Delta x]$ 利用求和符号简化公式： $A=\lim_{ n \to +\infty } \sum^n_{i=1} f(x_{i}) \Delta x$

距离问题

引文

已知运动物体在任何时间到出发点的距离，求物体在特定时间的速度，现在我们考虑距离问题：如果速度固定， 那么

移动距离的准确值 $d$ 以极限表达： $d=\lim_{ n \to +\infty } \sum^n_{i=1}f(t_{i})\Delta t$

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5.2 定积分

定积分

提示 $\int_{a}^{b} f(x) \, dx= \lim_{ n \to +\infty } \sum^n_{i=1} f(x_{i}^*) \Delta x$

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• 定积分的定义中极限的准确含义为： 对于任意 $\varepsilon>0$ ，存在正整数 $N$ ，使得对于每个正整数数 $n>N$ 和区间 $[x_{i-1},x_{i}]$ 内的每个样本点 $x_{i}^*$ 都有

$\bigg|\int_{a}^{b} f(x) \, dx-\sum_{i=1}^n f(x_{i}^*)\Delta x\bigg|<\varepsilon$ 说明 符号 $\int$ 由莱布尼茨引入，称为积分符号，它是一个拉长的 $S$。之所以选择这样的符号，是因为积分是和 $\left(\sum\right)$ 的极限。$f(x)$ 称为被积函数，$a$ 和 $b$ 称为积分限，其中 $a$ 为积分下限，$b$ 为积分上限。符号 $dx$ 指明积分变量为 $x$，$\int_a^b f(x)\,dx$ 是一个完整的积分表达式。

计算定积分

$$\begin{aligned} &\sum_{i=1}^n1=n\\ &\sum_{i=1}^ni=\frac{n(n+1)}{2}\\ &\sum_{i=1}^ni^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\ &\sum_{i=1}^ni^3=\left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 \end{aligned}$$

• 亦可配合图像理解求积分。

定积分的性质

$\int_{a}^{b} c \, dx=c(b-a)$ 其中 $c$ 为任意常数。 $\int_{a}^{b} [f(x)+g(x)] \, dx=\int_{a}^{b} f(x) \, dx+\int_{a}^{b} g(x) \, dx$ $\int_{a}^{b} cf(x) \, dx=c\int_{a}^{b} f(x) \, dx$ 其中 $c$ 为任意常数。 $\int_{a}^{b} [f(x)-g(x)] \, dx=\int_{a}^{b} f(x) \, dx-\int_{a}^{b} g(x) \, dx$

提示 $\int_{a}^{c} f(x) \, dx +\int_{c}^{b} f(x) \, dx =\int_{a}^{b} f(x) \, dx$

积分的比较性质：

• 如果在 $[a,b]$ 上 $f(x)\geqslant 0$，那么

  $$\int_a^b f(x)\,dx\geqslant 0$$

• 如果在 $[a,b]$ 上 $f(x)\geqslant g(x)$，那么

  $$\int_a^b f(x)\,dx\geqslant\int_a^b g(x)\,dx$$

• 如果在 $[a,b]$ 上 $m\leqslant f(x)\leqslant M$，那么

  $$m(b-a)\leqslant\int_a^b f(x)\,dx\leqslant M(b-a)$$

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5.3 微积分基本定理

微积分基本定理（第一部分）

• 如果 $f$ 是 $[a,b]$ 上的连续函数，并且定义函数 $g$ 为

$$g(x)=\int_a^x f(t)\,dt, \qquad a\leqslant x\leqslant b$$

那么 $g$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 上可微，并且 $g'(x)=f(x)$ 。

微积分基本定理（第二定理）

• 如果 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，那么 $\int_{a}^{b} f(x) \, dx =F(b)-F(a)$
• 其中 $F$ 是 $f$ 的任意原函数，即 $F'=f$。

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5.4 不定积分与净变化定理

不定积分

$\int f(x)dx=F(x),即F'(x)=f(x)$

注意

定积分是一个数，不定积分是一个函数。

净变化定理

$\int_{a}^{b} F'(x) \, dx =F(b)-F(a)$

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5.5 换元法

不定积分的换元

$\int 2x\sqrt{ 1+x^2 }dx$

• 令 $u=1+x^2\implies du=2xdx$ $\int \sqrt{ 1+x^2 }\cdot2xdx=\int \sqrt{ u }du=\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}+C$ $=\frac{2}{3}(1+x^2)^{\frac{3}{2}}+C$

小结

基础型

$\int F'(g(x))\cdot g'(x)dx=F(g(x))+C$

说明 换元法 $\int f(g(x))\cdot g'(x)dx=\int f(u)du$

提示 $\int \tan xdx=\ln |\sec x|+C$

定积分换元法

如果 $g'$ 在 $[a,b]$ 上连续且 $f$ 在 $u=g(x)$ 的值域上连续，那么 $\int_{a}^{b} f(f(x))g'(x) \, dx =\int_{g(a)}^{g(b)} f(u) \, du$

• 例：求 $\int_{1}^{2} \frac{dx}{(3-5x)^2} \, dx$
• 解： 令 $u=3-5x$ ，则 $du=-5dx$ ，所以 $dx=-\frac{1}{5}du$ ，当 $x=1$ 时，$u=-2$ ；当 $x=2$ 时，$u=-7$ ，因此 $\int_{1}^{2} \frac{dx}{(3-5x)^2} \, dx=-\frac{1}{5} \int_{-2}^{-7} \frac{1}{u^2} \, du= -\frac{1}{5}\left[ -\frac{1}{u} \right]_{-2}^{-7}=\frac{1}{14}$

对称性

提示 对称函数的积分：假设 $f$ 上连续，则： 1、如果 $f$ 是偶函数，那么 $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx=2\int_{0}^{a} f(x) \, dx$ 2、如果 $f$ 是奇函数，那么 $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx =0$

5.5 习题

利用给定的换元求下列积分

题目 1

题目

$$\int\cos 2x\,dx, \qquad u=2x$$

解答

$$\int\cos 2x\,dx =\frac12\int\cos u\,du =\frac12\sin 2x+C.$$

题目 2

题目

$$\int xe^{-x^2}\,dx, \qquad u=-x^2$$

解答

$$\int xe^{-x^2}\,dx =-\frac12\int e^u\,du =-\frac12e^{-x^2}+C.$$

题目 3

题目

$$\int\sin^2\theta\cos\theta\,d\theta, \qquad u=\sin\theta$$

解答

$$\int u^2\,du =\frac13u^3+C =\frac13\sin^3\theta+C.$$

求下列不定积分

题目 4

题目

$$\int\frac{\cos x}{1+\sin x}\,dx$$

解答

令 $u=1+\sin x$，则 $du=\cos x\,dx$，所以

$$\int\frac{du}{u} =\ln|u|+C =\ln|1+\sin x|+C.$$

题目 5

题目

$$\int\frac{e^u}{(1-e^u)^2}\,du$$

解答

令 $t=1-e^u$，则 $dt=-e^u\,du$，所以

$$-\int t^{-2}\,dt =\frac1t+C =\frac{1}{1-e^u}+C.$$

题目 6

题目

$$\int\sin t\sqrt{1+\cos t}\,dt$$

解答

令 $u=1+\cos t$，则 $du=-\sin t\,dt$，所以

$$-\int u^{1/2}\,du =-\frac23(1+\cos t)^{3/2}+C.$$

题目 7

题目

$$\int\frac{a+bx^2}{\sqrt{3ax+bx^3}}\,dx$$

解答

令 $u=3ax+bx^3$，则 $du=3(a+bx^2)\,dx$，所以

$$\frac13\int u^{-1/2}\,du =\frac23\sqrt{3ax+bx^3}+C.$$

题目 8

题目

$$\int\frac{1}{(x^2+1)\arctan x}\,dx$$

解答

令 $u=\arctan x$，则 $du=\dfrac{dx}{1+x^2}$，所以

$$\int\frac{du}{u} =\ln|\arctan x|+C.$$

题目 9

题目

$$\int\frac{x}{1+x^4}\,dx$$

解答

令 $u=x^2$，则 $du=2x\,dx$，所以

$$\frac12\int\frac{du}{1+u^2} =\frac12\arctan(x^2)+C.$$

题目 10

题目

$$\int x^3\sqrt{x^2+1}\,dx$$

解答

令 $u=x^2+1$，则 $x^3\,dx=\dfrac12(u-1)\,du$，所以

$$\begin{aligned} \int x^3\sqrt{x^2+1}\,dx &=\frac12\int(u-1)u^{1/2}\,du\\ &=\frac15(x^2+1)^{5/2} -\frac13(x^2+1)^{3/2}+C. \end{aligned}$$

求下列定积分

题目 11

题目

$$\int_0^1(3t-1)^{50}\,dt$$

解答

令 $u=3t-1$。当 $t=0$ 时 $u=-1$；当 $t=1$ 时 $u=2$。因此

$$\frac13\int_{-1}^2u^{50}\,du =\frac{2^{51}+1}{153}.$$

题目 12

题目

$$\int_0^1\sqrt[3]{1+7x}\,dx$$

解答

令 $u=1+7x$，积分上下限变为 $1$ 和 $8$：

$$\frac17\int_1^8u^{1/3}\,du =\frac{45}{28}.$$

题目 13

题目

$$\int_0^{\pi/6}\frac{\sin t}{\cos^2t}\,dt$$

解答

令 $u=\cos t$，则 $du=-\sin t\,dt$，所以

$$\int_1^{\sqrt3/2}-u^{-2}\,du =\frac{2\sqrt3-3}{3}.$$

题目 14

题目

$$\int_0^1\frac{e^x}{1+e^{2x}}\,dx$$

解答

令 $u=e^x$，积分上下限变为 $1$ 和 $e$：

$$\int_1^e\frac{du}{1+u^2} =\arctan e-\frac{\pi}{4}.$$

题目 15

题目

设 $a>0$，计算

$$\int_0^a x\sqrt{x^2+a^2}\,dx.$$

解答

令 $u=x^2+a^2$，积分上下限变为 $a^2$ 和 $2a^2$：

$$\frac12\int_{a^2}^{2a^2}u^{1/2}\,du =\frac{a^3}{3}(2\sqrt2-1).$$

题目 16

题目

$$\int_{-\pi/3}^{\pi/3}x^4\sin x\,dx$$

解答

$x^4\sin x$ 是奇函数，积分区间关于原点对称，因此

$$\int_{-\pi/3}^{\pi/3}x^4\sin x\,dx=0.$$

题目 17

题目

$$\int_0^4\frac{x}{\sqrt{1+2x}}\,dx$$

解答

令 $u=1+2x$，则 $x=\dfrac{u-1}{2}$，积分上下限变为 $1$ 和 $9$：

$$\begin{aligned} \int_0^4\frac{x}{\sqrt{1+2x}}\,dx &=\frac14\int_1^9(u-1)u^{-1/2}\,du\\ &=\frac{10}{3}. \end{aligned}$$

题目 18

题目

$$\int_0^1\frac{1}{(1+\sqrt{x})^4}\,dx$$

解答

令 $u=1+\sqrt{x}$，则 $x=(u-1)^2$、$dx=2(u-1)\,du$：

$$\begin{aligned} \int_0^1\frac{dx}{(1+\sqrt{x})^4} &=2\int_1^2(u^{-3}-u^{-4})\,du\\ &=\frac16. \end{aligned}$$

求特殊三角函数的积分

题目 19

题目

$$\int\sin^3x\,dx$$

解答

令 $u=\cos x$，并使用 $\sin^2x=1-\cos^2x$：

$$\int\sin^3x\,dx =-\int(1-u^2)\,du =-\cos x+\frac13\cos^3x+C.$$

题目 20

题目

$$\int\sin^2x\cos^5x\,dx$$

解答

令 $u=\sin x$，并写成 $\cos^5x=(1-\sin^2x)^2\cos x$：

$$\begin{aligned} \int\sin^2x\cos^5x\,dx &=\int u^2(1-u^2)^2\,du\\ &=\frac13\sin^3x -\frac25\sin^5x +\frac17\sin^7x+C. \end{aligned}$$

原笔记待补充

原讲义中的第 21 题只保留了积分符号，没有题目内容，因此暂不补写答案，避免编造题意。

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本章总结

• 定积分是黎曼和的极限，用来描述面积、距离和一般累积量。
• 定积分的值依赖被积函数、积分区间和积分方向。
• 微积分基本定理把求导与积分连接为互逆运算。
• 净变化等于变化率在时间或空间区间上的积分。
• 换元法是链式法则在积分中的逆向使用。