第二章：极限与导数

《斯图尔特微积分》第二章：极限与导数读书笔记。本章从切线与瞬时速度两个经典问题出发，引入极限语言，再用极限严格定义连续性和导数。它是从函数走向微分学的关键一步。

本章地图

小节	核心问题	需要掌握的内容
2.1 切线问题和速度问题	为什么需要极限？	割线、切线、平均速度、瞬时速度
2.2 函数的极限	函数靠近一点时会发生什么？	数值观察、图像观察、单侧极限、无穷极限
2.3 利用极限运算法则求极限	怎样系统计算极限？	极限运算法则、直接代入、夹逼定理
2.4 极限的严格定义	怎样精确表达“任意接近”？	$\varepsilon$-$\delta$ 定义、单侧极限、无穷极限
2.5 连续性	什么时候函数没有断裂？	点连续、区间连续、连续函数性质、中值定理
2.6 无穷远处的极限与水平渐近线	函数的长期趋势是什么？	无穷远极限、水平渐近线、无穷增长
2.7 导数和变化率	如何描述瞬时变化？	切线斜率、速度、导数定义、变化率
2.8 导函数	如何把每一点的导数组成函数？	导函数、不可微点、高阶导数

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2.1 切线问题和速度问题

切线问题

• “切线”（tangent）一词源于拉丁文“接触”（tangens）。
• 欧几里得这样描述：切线是一条与这个圆相交一次且只有一次的直线。
• “割线”（secant）一词源于拉丁文“切割”（secans），是一条与曲线相交不止一次的直线。
• 我们称切线斜率为这些割线斜率的极限，用符号表示为： $\lim_{ Q \to P }m_{PQ}=m$

速度问题

• 伽利略通过实验发现，对于任何做自由落体运动的物体，其下落的距离与下落的时间的平方成正比（忽略空气阻力），如果用$s(t)$ 表示物体下落$ts$ 后的距离（单位：m），那么（在地球表面）伽利略的观测结果可以表示为： $s(t)=4.9t^2$

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2.2 函数的极限

求极限的数值方法和图像方法

• 极限的直观定义：假设当 $x$ 在 $a$ 附近时，函数 $f(x)$ 有定义 $\lim_{ x \to a } f(x)=L$

• 读作：“当 $x$ 趋于 $a$ 时，函数 $f(x)$ 极限等于$L$ ”，表示可以通过让 $x$ 足够接近$a$ （在 $a$ 的两侧均可）但不等于 $a$ ，是的 $f(x)$ 任意地接近$L$ 。

单侧极限

重点

• 左极限：如果让 $x$ 从小于 $a$ 的一侧充分接近 $a$，可以使 $f(x)$ 任意接近 $L$，就称 $f(x)$ 在 $x\to a$ 时的左极限为 $L$，记作

$$\lim_{x\to a^-}f(x)=L$$

• 右极限：如果让 $x$ 从大于 $a$ 的一侧充分接近 $a$，可以使 $f(x)$ 任意接近 $L$，就称 $f(x)$ 在 $x\to a$ 时的右极限为 $L$，记作

$$\lim_{x\to a^+}f(x)=L$$

• 双侧极限判定：双侧极限存在且等于 $L$，当且仅当左右极限都存在并且都等于 $L$：

$$\lim_{x\to a}f(x)=L \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} \displaystyle\lim_{x\to a^-}f(x)=L,\\[4pt] \displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x)=L. \end{cases}$$

极限怎么会不存在

极限不存在

如果 $x=a$ 处的左极限与右极限不相等，那么 $\lim_{x\to a}f(x)$ 不存在。

• 特殊的：

$$\lim_{x\to 0}\sin\frac{\pi}{x} \quad\text{不存在}$$

• 因为当 $x$ 趋于 $0$ 时 $f(x)$ 不趋于一个固定的数值。
• 注意：猜测极限值是存在陷阱的！

无穷极限和垂直渐近线

• 无穷极限的直观定义：
• 设 $f$ 是一个函数，它在 $a$ 的两侧都有定义，但在 $a$ 处本身可能没有定义，那么

$\lim_{ x \to a } f(x)=+\infty$

• 表示当 $x$ 足够接近 $a$ 但不等于 $a$ 时，$f(x)$ 可以变得任意大（要多大有多大）。

• 经常读作：当 $x$ 趋于 $a$ 时，$f(x)$ 的极限是无穷大 / $f(x)$ 无穷大。

• 设 $f$ 是一个函数，它在 $a$ 的两侧都有定义，但在 $a$ 处本身可能没有定义，那么

$\lim_{ x \to a } f(x)=-\infty$

• 表示当 $x$ 足够接近 $a$ 但不等于 $a$ 时，$f(x)$ 可以变成绝对值任意大的负数。

• 经常读作：当 $x$ 趋于 $a$ 时，$f(x)$ 的极限是负无穷大 / $f(x)$ 负无穷大。

• 垂直渐近线定义：如果下面六种情况中至少有一种成立，就称直线 $x=a$ 是曲线 $y=f(x)$ 的垂直渐近线。

$$\lim_{x\to a}f(x)=+\infty$$ $$\lim_{x\to a}f(x)=-\infty$$ $$\lim_{x\to a^-}f(x)=+\infty$$ $$\lim_{x\to a^+}f(x)=+\infty$$ $$\lim_{x\to a^-}f(x)=-\infty$$ $$\lim_{x\to a^+}f(x)=-\infty$$

• 关于$f(x)=\tan x$ 的垂直渐近线： $\lim_{ x \to \left( \frac{\pi}{2} \right)^- } \tan x=+\infty$ $\lim_{ x \to \left( \frac{\pi}{2} \right)^+ } \tan x=-\infty$

• 关于 $y=\ln x$ 的垂直渐近线：

$$\lim_{x\to 0^+}\ln x=-\infty$$

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2.3 利用极限运算法则求极限

极限的性质

重点

• 极限运算法则：假设 $c$ 是一个常数，且极限 $\lim_{ x \to a }f(x)$ 和 $\lim_{ x \to a }g(x)$ 都存在，那么

和法则

$$\lim_{x\to a}[f(x)+g(x)] =\lim_{x\to a}f(x)+\lim_{x\to a}g(x)$$

差法则

$$\lim_{x\to a}[f(x)-g(x)] =\lim_{x\to a}f(x)-\lim_{x\to a}g(x)$$

常数倍法则

$$\lim_{x\to a}[cf(x)] =c\lim_{x\to a}f(x)$$

乘积法则

$$\lim_{x\to a}[f(x)g(x)] =\left(\lim_{x\to a}f(x)\right) \left(\lim_{x\to a}g(x)\right)$$

商法则

$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)} {\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)}$$

商法则要求

$$\lim_{x\to a}g(x)\neq 0$$

• 这五个法则也可以用文字描述：

  1. 和的极限等于极限的和。
  2. 差的极限等于极限的差。
  3. 函数的常数倍的极限等于函数的极限的常数倍。
  4. 积的极限等于极限的积。
  5. 商的极限等于极限的商。（分母的极限不是0）

• 幂法则：$\lim_{ x \to a }[f(x)]^n=[\lim_{ x \to a }f(x)]^n$ ，其中 $n$ 是正整数。

• 根法则：$\lim_{ x \to a }\sqrt[n]{ f(x) }=\sqrt[n]{ \lim_{ x \to a }f(x) }$ ，其中 $n$ 是正整数。

• 四个特殊极限： $\lim_{ x \to a }c=c$ $\lim_{ x \to a }x=a$ $\lim_{ x \to a }x^n=a^n$ $\lim_{ x \to a }\sqrt[n]{ x }=\sqrt[n]{ a }$

直接替换求极限

• 直接替换性质：如果 $f$ 是一个多项式或有理函数，$a$在 $f$ 的定义域内，那么 $\lim_{ x \to a } f(x)=f(a)$

• 函数转化求极限：如果当 $x\neq a$ 且 $x$ 在 $a$ 附近时总有 $f(x)=g(x)$，那么

  $$\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)$$

  只要右侧极限存在。

利用单侧极限

单侧极限判定定理

$$\lim_{x\to a}f(x)=L \quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{x\to a^-}f(x) = \lim_{x\to a^+}f(x) =L$$

• 计算单侧极限时，极限法则同样适用。

夹逼定理

• 定理：如果当 $x$ 在 $a$ 附近时（除了在 $a$ 处）有 $f(x)\leq g(x)$ ，并且当 $x$ 趋于 $a$时 $f$ 和 $g$ 的极限都存在，那么 $\lim_{ x \to a }f(x)\leq g(x)$ 。

重点

夹逼定理：如果当 $x$ 在 $a$ 附近且 $x\neq a$ 时，有

$$f(x)\leq g(x)\leq h(x)$$

并且

$$\lim_{x\to a}f(x) = \lim_{x\to a}h(x) =L$$

那么

$$\lim_{x\to a}g(x)=L$$

2.3 习题

题目 1

题目

已知：$\lim_{ x \to 2 }f(x)=4,\lim_{ x \to 2 }g(x)=-2,\lim_{ x \to 2 }h(x)=0$ ，求 $\lim_{ x \to 2 }[f(x)+5g(x)+h(x)^3]$ 。

解答

原式= $\lim_{ x \to 2 }f(x)+5\lim_{ x \to 2 }g(x)+[\lim_{ x \to 2 }h(x)]^3$

=$4+5\times (-2)+0^3$

=$-6$

利用极限的运算法则计算极限：

题目 2

题目

求极限：$\lim_{ x \to 5 }(4x^2-5x)$

解答

$4\lim_{ x \to 5 }x^2-5\lim_{ x \to 5 }x=4\times 5^2-5\times 5=100-25=75$

题目 3

题目

求极限：$\lim_{ x \to -3 }(2x^3+6x^2-9)$

解答

$2\lim_{ x \to -3 }x^3+6\lim_{ x \to -3 }x^2-9=-2\times 3^3+6\times 3^2-9$

=$-54+54-9=-9$

题目 4

题目

求极限：$\lim_{ t \to 7 } \frac{3t^2+1}{t^2-5t+2}$

解答

$\frac{3\times 7^2+1}{7^2-5\times 7+2}=\frac{158}{16}=\frac{79}{8}$

计算下列极限：

题目 5

题目

计算： $\lim_{ t \to 4 } \frac{t^2-2t-8}{t-4}$

解答

分子分解因式：$t^2-2t-8=(t-4)(t+2)$，约掉 $t-4$ ，

$\lim_{ t \to 4 }(t+2)=4+2=6$

技巧：分解因式+约分

题目 6

题目

计算：$\lim_{ h \to 0 } \frac{(h-3)^2-9}{h}$

解答

分子展开：$(h-3)^2-9=h^2-6h+9-9=h^2-6h$

约掉 $h$ ，$\lim_{ h \to 0 }(h-6)=-6$

技巧：展开+约分

题目 7

题目

计算：$\lim_{ x \to 9 } \frac{9-x}{3-\sqrt{ x }}$

解答

分母有理化（乘以共轭式），

$\lim_{ x \to 9 } \frac{9-x}{3-\sqrt{ x }} \frac{3+\sqrt{ x }}{3+\sqrt{ x }}$ =$\lim_{ x \to 9 } \frac{(9-x)(3+\sqrt{ x })}{9-x}$

$\lim_{ x \to 9 }(3+\sqrt{ x })=3+3=6$

技巧：有理化+约分

利用夹逼定理解题：

题目 8

题目

如果对于 $x\geq 0$ ，有 $4x-9\leq f(x)\leq x^2-4x+7$ ，求 $\lim_{ x \to 4 }f(x)$ 。

解答

由 $4x-9\leq f(x)\leq x^2-4x+7$，可知，

$\lim_{ x \to 4 }(4x-9)\leq \lim_{ x \to 4 }f(x)\leq \lim_{ x \to 4 }(x^2-4x+7)$

$\lim_{ x \to 4 }(4x-9)=4\times 4-9=7$

$\lim_{ x \to 4 }(x^2-4x+7)=4^2-4\times 4+7=7$

根据夹逼定理，

可得，$\lim_{ x \to 4 }f(x)=7$

题目 9

题目

利用夹逼定理证明：$\lim_{ x \to 0 }x^2\cos 20\pi x=0$

解答

分析 $\cos 20\pi x$ 的值域，可知，

$-1\leq \cos 20\pi x\leq 1$ ,不等式两边同时乘以 $x^2$

$-x^2\leq x^2\cos 20\pi x \leq x^2$

可知，$\lim_{ x \to 0 }(-x^2)=0=\lim_{ x \to 0 }(x^2)$

两端极限均为 $0$ ，根据夹逼定理，中间的极限也为 $0$ ，

即：$\lim_{ x \to 0 }x^2\cos 20\pi x=0$

利用同样的方法，也可以证明：$\lim_{ x \to 0 }x^4\cos \frac{2}{x}=0$

题目 10

题目

求极限：$\lim_{ x \to -4 }(|x+4|-2x)$

解答

$|x+4|$ 在$x\to -4$ 时，等于 $0$

$\lim_{ x \to -4 }(-2x)=-4\times (-2)=8$

题目 11

题目

求极限：$\lim_{ x \to -4 } \frac{|x+4|}{2x+8}$

解答

当 $x\to -4$时，分母 $2x+8=0$，不能直接运算

左极限：$\lim_{ x \to -4^- } \frac{|x+4|}{2x+8}=\lim_{ x \to -4^- } \frac{-(x+4)}{2x+8}=-\frac{1}{2}$

右极限：$\lim_{ x \to -4^+ } \frac{|x+4 |}{2x+8}=\lim_{ x \to -4^+ } \frac{x+4}{2x+8}= \frac{1}{2}$

左极限 $\neq$ 右极限

极限不存在

题目 12

题目

已知

$$B(t)= \begin{cases} 4-\dfrac{1}{2}t, & t<2,\\ \sqrt{t+c}, & t\geq 2. \end{cases}$$

求使 $\lim_{ t \to 2 }B(t)$ 存在的 $c$ 值。

解答

若极限存在，则左右极限必须相等，

左极限：$\lim_{ t \to 2^- }\left( 4-\frac{1}{2}t \right)=4-1=3$

右极限：$\lim_{ t \to 2^+ } \sqrt{ t+c }=\sqrt{ 2+c }$

所以，$\sqrt{ 2+c }=3$

$c=7$

题目 13

题目

求：是否存在一个数 $a$ ，使得：$\lim_{ x \to -2 } \frac{3x^2+ax+a+3}{x^2+x-2}$ 极限存在，如果存在，求出 $a$ 的值和极限值。

解答

假设存在，分母因式分解，

$x^2+x-2=(x+2)(x-1)$

在 $x\to -2$ 时，分母趋于 $0$ ，因此分子也必须趋于 $0$ ，

将 $x=-2$ 代入分子，得：$3\times (-2)^2-2a+a+3=12-a+3=15-a=0$ ，

$a=15$

原式= $\lim_{ x \to -2 } \frac{3x^2+15x+15+3}{x^2+x-2}=\lim_{ x \to -2 } \frac{3(x+2)(x+3)}{(x+2)(x-1)}=\lim_{ x \to -2 }3 \frac{x+3}{x-1}$

$=3\times \frac{-2+3}{-2-1}=-1$

所以，最终求得 $a=15$ ，极限值为 $-1$ 。

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2.4 极限的严格定义

• 引言：我们之前给出的极限的直观定义是不充分的，因为诸如 “ $x$ 接近 $2$ ” 和 “ $f(x)$ 越来越接近 $L$ ” 的表述都是不明确的，为了给出最终证明，我们必须使极限的定义更加严格。

极限的严格定义

• 定义：设 $f$ 为一个定义在某个包含 $a$ 的开区间上的函数（仅在 $a$ 处可能没有定义）。如果对于任意 $\varepsilon>0$ ，都存在 $\delta>0$ ，使得 $\text{如果} 0 <|x-a|< \delta \text{ },\text{则有}|f(x)-L|<\varepsilon,$
  • 那么我们就说当 $x$ 趋于 $a$ 时 $f(x)$ 的极限是 $L$ ，记为 $\lim_{ x \to a } f(x)=L$

重点

• 描述 $A$ ：$\lim_{ x \to a }f(x)=L$ 表示可以通过将 $x$ 与 $a$ 之间的距离变得足够小（但不为 $0$ ），来使 $f(x)$ 与 $L$ 之间的距离变得任意小。
• 描述 $B$ ：$\lim_{ x \to a }f(x)=L$ 表示可以通过让 $x$ 与 $a$ 足够接近（但不等于 $a$ ），来使 $f(x)$ 与 $L$ 任意接近。

• 有趣的角度：在证明极限时，将极限的定义看作一场擂台挑战，这样做的话可能会有帮助（毕竟它很抽象嘛）。首先，$\varepsilon$ 向你发起挑战，你必须拿出一个适合的 $\delta$ 与之抗衡，你必须保证可以对付每一个 $\varepsilon>0$ ，而不是某个特定的 $\varepsilon$ 。

单侧极限

• 左极限的严格定义：
  • 符号 $\lim_{ x \to a^- }f(x)=L$ 表示对于每个 $\varepsilon>0$ ，都存在 $\delta>0$， 使得 $\text{如果}a-\delta <x<a,\text{则有}|f(x)-L|<\varepsilon$
• 右极限的严格定义：
  • 符号 $\lim_{ x \to a^+ }f(x)=L$ 表示对于每个 $\varepsilon>0$ ，都存在 $\delta>0$， 使得 $\text{如果}a <x<a+\delta,\text{则有}|f(x)-L|<\varepsilon$

极限的运算法则

$\lim_{ x \to a } [f(x)+g(x)]=L+M$

无穷极限

• 无穷极限的严格定义：设 $f$ 为一个定义在某个包含 $a$ 的开区间上的函数（仅在 $a$ 处可能没有定义）。那么符号 $\lim_{ x \to a }f(x)=+\infty$ 表示对于每个正数 $M$ ，都存在一个正数 $\delta$ ，使得 $\text{如果} 0<|x-a|<\delta,\text{则有}f(x)>M$
• 另一个情况：设 $f$ 为一个定义在某个包含 $a$ 的开区间上的函数（仅在 $a$ 处可能没有定义）。那么符号 $\lim_{ x \to a }f(x)=-\infty$ 表示对于每个负数 $N$ ，都存在一个正数 $\delta$ ，使得 $\text{如果} 0<|x-a|<\delta,\text{则有}f(x)<N$

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2.5 连续性

• 引言：当 $x$ 趋于 $a$ 时，函数的极限常常可以简单地通过计算函数在$a$ 处的值得到，具有这种性质的函数称为在 $a$ 处连续，我们会看到连续性的数学定义与“连续性”一词在日常用于中的含义非常接近，（连续过程是不间断地发生的过程。）

函数的连续性

• 定义：如果 $\lim_{ x \to a }f(x)=f(a)$ ，则称函数 $f$ 在 $a$ 处连续。

重点

定义的三个条件：

1. $f(a)$ 有定义，即 $a$ 在 $f$ 的定义域内。
2. $\lim_{ x \to a }f(x)$ 存在，即 $f$ 在 $a$ 处的极限存在。
3. $\lim_{ x \to a }f(x)=f(a)$

• 反之，称 $f$ 在 $a$ 处不连续，或称 $f$ 在 $a$ 处有一个间断。
• 可去间断：一般是图像有洞，重新定义这一点的值就可以去掉间断。
• 无穷间断：一般是图像有缝隙，存在垂直渐近线。
• 跳跃间断：一般是图像存在阶梯，在某一点存在跳跃。
• 函数 $f$ 在 $a$ 处右连续： $\lim_{ x \to a^+ } f(x)=f(a)$
• 函数 $f$ 在 $a$ 处左连续： $\lim_{ x \to a^- } f(x)=f(a)$
• 函数 $f$ 在一个区间上连续：函数在这个区间的每一个点处都连续。如果 $f$ 仅在端点的一侧有定义，那么在端点处连续表示右连续或左连续。

连续函数的性质

• 定理：如果函数 $f$ 和 $g$ 在 $a$ 处连续，且 $c$ 是一个常数，那么下面的函数也在 $a$ 处连续。

$$\begin{gathered} f+g,\qquad f-g,\qquad cf,\qquad fg,\\ \frac{f}{g}\quad\text{（其中 }g(a)\neq 0\text{）} \end{gathered}$$

• 多项式连续定理：任意多项式都是处处连续的。
• 有理函数连续定理：任意有理函数在每个有定义的点处都连续。
• 拓展连续定理：以下类型的函数在其定义域上都是连续的。
  1. 多项式
  2. 有理函数
  3. 平方根函数
  4. 三角函数
  5. 反三角函数
  6. 指数函数
  7. 对数函数
• 将两个连续函数构造称复合函数，可以得出以下结论，
  • 复合函数连续定理：
  • 如果 $f$ 在 $b$ 处连续且 $\lim_{ x \to a }g(x)=b$ ，那么 $\lim_{ x \to a }f(g(x))=f(b)$
  • 如果函数 $g$ 在 $a$ 处连续且 $f$ 在 $g(a)$ 处连续，那么复合函数 $f·g$ 在 $a$ 处连续，其中 $(f·g)(x)=f(g(x))$

重点

• 介值定理：假设 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，$N$ 是 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间的任意一个数，$f(a) \neq f(b)$ ，那么在 $(a,b)$ 内存在一个数 $c$ ，使得 $f(c)=N$ 。

• 几何理解：如果将连续函数理解为它的图像没有洞或者缝隙，我们将很容易理解介值定理，用几何语言来说，如果给定介于 $y=f(a)$ 和 $y=f(b)$ 之间的任意一条水平线 $y=N$ ，那么 $f$ 的图像不可能跳过这条线，它一定和 $y=N$ 相交。

2.5 习题

利用连续的定义和极限的性质证明函数在 $a$ 处是连续的。

题目 1

题目

$f(x)=3x^2+(x+2)^5,a=-1$

解答

$f(-1)=3\times (-1)^2+(-1+2)^5=4$

$\lim_{ x \to -1 }3x^2+(x+2)^5=3\times (-1)^2+(-1+2)^5=4$

因此，$\lim_{ x \to -1 }f(x)=f(-1)$ ，

所以，$f(x)$ 在 $a=-1$ 处连续

题目 2

题目

$g(t)= \frac{t^2+5t}{2t+1},a=2$

解答

$g(2)= \frac{2^2+5\times 2}{2\times 2+1}= \frac{14}{5}$

$\lim_{ t \to 2 } \frac{t^2+5t}{2t+1}= \frac{2^2+5\times 2}{2\times 2+1}= \frac{14}{5}$

因此，$\lim_{ t \to 2 }g(t)=g(2)$

所以，$g(t)$ 在 $a=2$ 处连续

利用连续性计算极限

题目 3

题目

$\lim_{ x \to 2 }x\sqrt{ 20-x^2 }$

解答

$=2\times \sqrt{ 20-2^2 }$

$=2\times 4$

$=8$

题目 4

题目

$\lim_{ \theta \to \frac{\pi}{2} }\sin (\tan (\cos \theta))$

解答

$$\sin(\tan 0)=0$$

题目 5

题目

常数 $c$ 为何值时，函数 $f$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续？

$$f(x)= \begin{cases} cx^2+2x, & x<2,\\ x^3-cx, & x\geq 2. \end{cases}$$

解答

已知函数在 $\mathbb{R}$ 上连续，所以在 $x=2$ 处连续

左极限：$\lim_{ x \to 2^- }(cx^2+2x)=4c+4$

右极限：$\lim_{ x \to 2^+ }(x^3-cx)=8-2c$

所以 $4c+4=8-2c$ ，$c=\frac{2}{3}$

题目 6

题目

求使 $f$ 处处连续的 $a$ 和 $b$ 的值。

$$f(x)= \begin{cases} \dfrac{x^2-4}{x-2}, & x<2,\\ ax^2-bx+3, & 2\leq x\leq 3,\\ 2x-a+b, & x\geq 3. \end{cases}$$

解答

已知函数在 $\mathbb{R}$ 上连续，所以在 $x=2$ 处连续

左极限：$\lim_{ x \to 2^- } \frac{x^2-4}{x-2}=2+2=4$

右极限：$\lim_{ x \to 2^+ }(ax^2-bx+3)=4a-2b+3$

可得：$4a-2b+3=4$，

化简后：$4a-2b=1$ ··· ①

然后，在 $x=3$ 处连续

左极限：$\lim_{ x \to 3^- }(ax^2-bx+3)=9a-3b+3$

右极限：$\lim_{ x \to 3^+ }(2x-a+b)=6-a+b$

可得：$9a-3b+3=6-a+b$

化简后：$10a-4b=3$ ··· ②

联立①和②，解方程组，

可得：$a=\frac{1}{2},b=\frac{1}{2}$

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2.6 无穷远处的极限与水平渐近线

• 引言：前面研究的无穷极限描述了 $x$ 趋于某个有限值时，$f(x)$ 的绝对值变得任意大，由此可以确定垂直渐近线。本节转而研究 $x$ 趋于正无穷或负无穷时函数的变化趋势。

无穷远处的极限和水平渐近线

• 正无穷远处的极限的直观定义：设 $f$ 是一个定义在某区间 $(a,+\infty)$ 上的函数，那么 $\lim_{ x \to +\infty } f(x)=L$

• 表示通过让 $x$ 变得足够大，可以使 $f(x)$ 任意接近 $L$ 。

• 负无穷远处的极限的直观定义：设 $f$ 是一个定义在某区间 $(-\infty,a)$ 上的函数，那么 $\lim_{ x \to -\infty } f(x)=L$

• 表示通过让 $x$ 变得绝对值足够大的负数，可以使 $f(x)$ 任意接近 $L$ 。

• 如果下面两个条件中至少有一个成立，就称直线 $y=L$ 是曲线 $y=f(x)$ 的水平渐近线：

$$\lim_{x\to-\infty}f(x)=L$$ $$\lim_{x\to+\infty}f(x)=L$$

• 例如，反正切函数 $y=\tan^{-1}x=\arctan x$ 有两条水平渐近线：

$$\lim_{x\to-\infty}\arctan x=-\frac{\pi}{2}$$ $$\lim_{x\to+\infty}\arctan x=\frac{\pi}{2}$$

计算无穷远处的极限

• 定理：如果 $r>0$ 是一个有理数，那么 $\lim_{ x \to +\infty } \frac{1}{x^r}=0$
• 如果 $r>0$ 是一个使 $x^r$ 对所有 $x$ 都有定义的有理数，那么 $\lim_{ x \to -\infty } \frac{1}{x^r}=0$
• 自然指数函数的极限： $\lim_{ x \to -\infty } e^{ x }=0$ $\lim_{ x \to 0^- } e^{ \frac{1}{x} }=0$

无穷远处的无穷极限

• 符号 $\lim_{ x \to +\infty }f(x)=+\infty$
• 表示当 $x$ 变得非常大时，$f(x)$ 也变得非常大。
• 注意：极限运算法则不能被应用于无穷极限上，$\infty$ 不是一个数，$\infty-\infty$ 是没有定义的，然而，$\lim_{ x \to \infty }(x^2-x)=\lim_{ x \to \infty }x(x-1)=+\infty$ 是成立的，因为 $x$ 和 $x-1$ 都变得任意大，所以它们的乘积也变得任意大。

严格定义

• 正无穷远处的极限的严格定义：设 $f$ 是一个定义在某区间 $(a,+\infty)$ 上的函数，那么 $\lim_{ x \to +\infty } f(x)=L$
• 表示对于任意 $\varepsilon>0$ ，总存在一个数$N$ ，使得 $\text{当}x>N\text{时},|f(x)-L|<\varepsilon$
• 负无穷远处的极限的严格定义：设 $f$ 是一个定义在某区间 $(-\infty,a)$ 上的函数，那么 $\lim_{ x \to -\infty } f(x)=L$
• 表示对于任意 $\varepsilon>0$ ，总存在一个数 $N$ ，使得 $\text{当}x<N\text{时},|f(x)-L|<\varepsilon$

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2.7 导数和变化率

切线

• 切线定义：曲线 $y=f(x)$在点 $P(a,f(a))$ 处的切线是一条过点 $P$ 且斜率为 $m$ 的直线（如果极限存在）。 $m=\lim_{ x \to a } \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$
• 曲线斜率：曲线在某一点切线的斜率。
• 切线斜率另一种表达式，令 $h=x-a$ ，则 $x=a+h$ ， $m=\lim_{ h \to 0 } \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

速度

• 假设物体沿直线运动，它的运动方程为 $s=f(t)$ ，其中 $s$ 是 $t$ 时物体相对于原点的位移（有向距离）。这个描述物体运动的函数称为位置函数，在 $t=a$ 到 $t=a+h$ 的时间段内，位移为 $f(a+h)-f(a)$ ，这个时间段内的平均速度为 $\text{平均速度}=\frac{\text{位移}}{\text{时间}}=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$
• 我们计算物体在越来越短的时间段 $[a,a+h]$ 内的平均速度，此时 $h$ 趋于 $0$ ，定义在 $t=a$ 时的速度 $v(a)$ 为这些平均速度的极限，即瞬时速度。 $\text{瞬时速度}=v(a)=\lim_{ h \to 0 } \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

导数

• 在求切线的斜率和物体的速度时，我们使用了相同类型的极限，在科学和工程学问题计算变化率时，经常会遇到这种极限，我们赋予它特殊的符号和名称。
• 导数的定义：定义函数 $f(x)$ 在 $x=a$ 处的导数 $f'(a)$ 为 $f'(a)=\lim_{ h \to 0 } \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ $f'(a)=\lim_{ x \to a } \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

重点

• 由于切线斜率和导数 $f'(a)$ 相同，可以这样叙述：曲线 $y=f(x)$ 在点 $(a,f(a))$ 处的切线是一条经过点 $(a,f(a))$ 且斜率为 $f'(a)$ 的直线。
• 我们可以得到 $y=f(x)$ 在点 $(a,f(a))$ 处的切线方程：

$$y-f(a)=f'(a)(x-a)$$

变化率

• 假设变量 $y$ 依赖于变量 $x$ ，则$y$ 是 $x$ 的函数，记作：$y=f(x)$ 。如果 $x_{1}$ 变化到 $x_{2}$ ，则 $x$ 的改变量（也可称为增量）为 $\Delta x=x_{2}-x_{1}$
• 对应 $y$ 的改变量为 $\Delta y=f(x_{2})-f(x_{1})$
• 那么差商 $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}$
• 称为 $y$ 在$[x_{1},x_{2}]$ 上的平均变化率。
• 我们令 $x_{2}$ 向 $x_{1}$ 不断趋近，即 $x_{2}\to x_{1}$，此时的 $\Delta x$ 趋于 $0$ ，即可得到 $x=x_{1}$ 处的瞬时变化率 $\lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{ x_{2} \to x_{1} } \frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}$
• 可以发现，这个极限正好是导数 $f'(x_{1})$。
• 可以有这样的理解：当导数较大时，曲线更加陡峭，函数值变化很大；当导数较小时，曲线更加平坦，函数值变化不明显。

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2.8 导函数

导数作为函数

• 对于任何使这个极限存在的 $x$ ，我们将 $f'(x)$ 指定给 $x$ ，可以将 $f'$ 看成一个新的函数，称其为 $f$ 的导数。 $f'(x)=\lim_{ h \to 0 } \frac{f(a+h)-f(x)}{h}$
• $f'$ 在 $x$ 处的值在几何上可以解释为 $f$ 的图像在点 $(x,f(x))$ 处的切线的斜率。
• 我们可以知道：$f'$ 的定义域包含在 $f$ 的定义域之内，但两者不一定相等。
• 其他符号： $f'(x)=y'=\frac{dy}{dx}=\frac{df}{dx}=Df(x)=D_{x}f(x)$ $\text{符号}D\text{和} \frac{d}{dx}\text{称为微分算子，因为他们代表微分运算，即求导的过程}$
• 由莱布尼茨引入的符号 $\frac{dy}{dx}$ 不应被看作一个比，它是 $f'(x)$ 的一种替代形式，我们用莱布尼茨符号将导函数的定义写成如下形式： $\frac{dy}{dx}=\lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{\Delta y}{\Delta x}$
• 我们也可以用莱布尼茨符号表示某特定点 $a$ 处的导数： $\frac{dy}{dx}\bigg|_{x=a}\text{或} \frac{dy}{dx}\bigg]_{x=a}$

重点

• 如果 $f'(a)$存在，我们称 $f$ 在 $a$ 处可微，如果 $f$ 在开区间 $(a,b)$ 内的每一点处都是可微的，我们称 $f$ 在开区间 $(a,b)$ 上可微。
• 如果 $f$ 在 $a$ 处可微，则 $f$ 在 $a$ 处连续。
• 存在连续但不可微的函数。例如：$f(x)=|x|$

不可微的函数

一般有以下三种情况函数不可微：

• 通常，如果一个函数 $f$ 的图像有“尖角”，则函数 的图像在该点处没有切线，$f$ 在该点处不可微。
• 如果函数 $f$ 在 $a$ 处不连续，则在 $a$ 处不可微，即：在任何间断点处，函数 $f$ 都是不可微的。
• 曲线在 $a$ 处有垂直切线，即 $f$ 在 $a$ 处连续且满足 $\lim_{ x \to a } |f'(x)|=+\infty$
• 另一种方式看待可微：如果函数 $f$ 在 $a$ 处可微，那么，我们以 $a$ 点为中心放大图像，图像看上去越来越像一条直线，或者说是越来越趋于一条直线，而尖角是无论如何都无法消除的。

高阶导数

• 如果 $f$ 是一个可微的函数，那么它的导数 $f'$ 也是一个函数，所以 $f'$ 可以有自己的导数，记作：$f''=(f')'$ ，这个新函数 $f''$ 称为 $f$ 的二阶导数，因为它是 $f$ 的导数的导数。我们可以使用莱布尼茨符号进行表示 $\frac{d}{dx} \left( \frac{dy}{dx} \right)=\frac{d^2y}{dx^2}$

• 我们可以把 $f''(x)$ 理解为函数 $f(x)$ 的斜率的变化率。

• 由此我们得到位置函数的二阶导数： $a(t)=v'(t)=s''(t)$ $a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2s}{dt^2}$

• 这就是瞬时速率的变化率，我们称之为加速度 $a(t)$ 。

• 于是，我们还可以求加速度的变化率，称函数 $j$ 为加加速度： $j=\frac{da}{dt}=\frac{d^3s}{dt^3}$

• 可以继续推广导 $n$ 阶导数： $y^{(n)}=f^{(n)}(x)=\frac{d^ny}{dx^n}$

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本章总结

• 极限描述函数在某点附近或无穷远处的趋势，不要求函数在该点一定有定义。
• 双侧极限存在，当且仅当左极限和右极限存在且相等。
• 连续性把函数值与极限连接起来：$\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$。
• 导数是差商的极限，同时表示切线斜率和瞬时变化率。
• 高阶导数继续刻画变化率的变化，例如速度、加速度和加加速度。