第七章：积分技巧

《斯图尔特微积分》第七章：积分技巧读书笔记。本章建立积分求解策略库。重点不只是记住公式，而是识别被积函数结构，选择能降低复杂度的方法，并判断反常积分是否收敛。

本章地图

小节	核心问题	需要掌握的内容
7.1 分部积分法	乘积结构怎样积分？	分部积分、循环积分、归约公式
7.2 三角函数的积分	三角幂函数怎样处理？	奇偶性、降幂、积化和差
7.3 三角换元	根式结构怎样化简？	$\sin$、$\tan$、$\sec$ 换元
7.4 有理函数的积分与部分分式法	有理函数怎样拆解？	因式分解、部分分式、有理换元
7.5 积分策略	面对新积分怎样选方法？	化简、换元、分部、恒等变形
7.6 利用积分表和技术工具求积分	工具怎样辅助而不替代判断？	积分表、计算机代数、结果验证
7.7 积分的近似	无法解析积分时怎么办？	中点、梯形、辛普森法则、误差
7.8 反常积分	无穷区间和奇点怎样积分？	极限定义、收敛与发散、$p$ 积分

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7.1 分部积分法

不定积分的分部积分法

公式

分部积分公式

$\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int g(x)f'(x)dx$ $\int udv=uv-\int vdu$

例题 例1：求 $\int x\sin xdx$ 解： $\int x\sin xdx=x(-\cos x)-\int(-\cos x)dx=-x\cos x+\sin x+C$ 分布积分法的目的是得到一个更简单的积分，对比分布积分公式，此处，$\sin x$ 更适合充当 $g(x)$ 。

例2：求$\int \ln xdx$ 解： $\int \ln xdx=x\ln x-\int x \cdot \frac{1}{x}dx=x\ln x-x+C$ 本题中，$\ln x$ 更适合充当 $g(x)$ 。

例3：求 $\int t^2e^tdt$ 解： $\int t^2e^tdt=t^2e^t-\int 2t\cdot e^tdt=t^2e^t-\left( te^t-\int e^tdt \right)$ $=t^2e^t-2te^t+2e^t+C$

例4：$\int e^x\sin xdx$ 解： $\int e^x\sin xdx=e^x(-\cos x)+\int e^x\cos x=-e^x\cos x+e^x\sin x-\int e^x\sin xdx$ $2\int e^x\sin x=-e^x\cos x+e^x\sin x$ $\int e^x\sin xdx=\frac{1}{2}e^x(\sin x-\cos x)+C$ 通过连续使用分布积分法，可以得到循环，从而巧妙地把积分求解出来。

定积分的分部积分法

公式 定积分分部积分公式 $\int_{a}^{b} f(x)g'(x) \, dx=f(x)g(x)\bigg|_{a}^b -\int_{a}^{b}g(x)f'(x) \, dx$

例题 例5：求 $\int_{0}^{1} \tan^{-1}x \, dx$ 解： $\int_{0}^{1}\tan t^{-1}x \, dx=x\tan t^{-1}x\bigg|_{0}^1-\int_{0}^{1} \frac{x}{1+x^2} \, dx$ $=\frac{\pi}{4}-\int_{0}^{1} \frac{x}{1+x^2} \, dx=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\ln2$

归约公式

公式 $\int \sin^nxdx=-\frac{1}{n}\cos x\sin^{n-1}x+\frac{n-1}{n}\sin^{n-1}dx$

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7.2 三角函数的积分

正弦函数和余弦函数的幂的积分

例题 例1：$\int \cos^3xdx$ 解： $\int \cos ^3xdx=\int \cos^2x\cdot \cos x=\int(1-\sin^2x)\cos xdx$ $\int(1-\sin ^2x)d(\sin x)=\sin x-\frac{1}{3}\sin^3x+C$ 利用公式：$\sin^2x+\cos^2x=1$ 替换后，再求解。

例2：$\int \sin^5x\cdot \cos^2xdx$ 解： $\int \sin^5x\cdot \cos^2xdx=\int(\sin^2x)^2\cdot \cos^2x\cdot \sin xdx$ $\int(1-\cos^2x)^2\cdot \cos^2x(-1)d(\cos x)$ $=-\frac{1}{3}\cos^3x+\frac{2}{5}\cos^5x-\frac{1}{7}\cos^7x+C$

上面的例子中，可以从奇次幂中分离出一个因子，并转换剩余的偶次幂。对于都是偶次幂的情况，可以使用半角公式来处理。

公式

半角公式

$\sin^2x=\frac{1}{2}(1-\cos 2x)$ $\cos^2x=\frac{1}{2}(1+\cos 2x)$

例题 例3：$\int_{0}^{\pi} \sin^2x \, dx$ 解： 使用半角公式， $\int_{0}^{\pi} \sin^2x \, dx =\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi} (1-\cos 2x) \, dx$ $=\frac{1}{2}\left( x-\frac{1}{2\sin 2x} \right)\bigg|_{0}^\pi=\frac{1}{2}\pi$

例4：$\int \sin^4xdx$ 解： $\int \sin^4xdx=\int(\sin ^2x)^2dx=\int\left[ \frac{1}{2}(1-\cos 2x) \right]^2dx$ $\int \frac{1}{4}[1-2\cos 2x +\cos^2(2x)]dx=\frac{1}{4}\int\left( \frac{3}{2}-2\cos 2x+\frac{1}{2}\cos4x \right)$ $=\frac{1}{4}\left( \frac{3}{2}x-\sin 2x+\frac{1}{8}\sin 4x \right)+C$

正割函数和正切函数的幂的积分

$(\tan x)'=\sec^2x$ $\sec^2x=1+\tan^2x$ 例题 例5：$\int \tan^6x\cdot \sec^4xdx$ 解： 分离出一个 $\sec^2x$ 因子，利用 $\sec^2x=1+\tan^2x$ 替换 $\int \tan^6x\cdot \sec^4xdx=\int \tan^6x\cdot \sec^2x\cdot \sec^2xdx$ $=\int \tan^6x(1+\tan^2x)d(\tan x)$ $=\frac{1}{7}\tan^7x+\frac{1}{9}\tan^9x+C$

例6：$\int \tan^5x\cdot \sec^7xdx$ 解： $\int \tan^5x\cdot \sec^7xdx=\int \tan^4x\cdot \sec^6x\cdot \sec x\cdot \tan xdx$ $=\int(\sec^2x-1)^2\sec^6xd(\sec x)$ $=\frac{1}{11}\sec^{11}x-\frac{2}{9}\sec^9x+\frac{1}{7}\sec^7x+C$

公式 $\int \tan xdx=\ln |\sec x|+C$ $\int \sec xdx=\ln |\sec x+\tan x|+C$

例题 例7：$\int \tan^3xdx$ 解： $\int \tan^3xdx=\int \tan x\cdot \tan^2xdx=\int \tan x(\sec^2x-1)dx$ $=\int \tan x\sec^2xdx-\int \tan xdx$ $=\frac{1}{2}\tan^2x-\ln |\sec x|+C$

例8：$\int \sec^3xdx$ 解： $\int \sec^3xdx=\sec x\tan x-\int \sec x\tan^2xdx$ $=\sec x\tan x-\int \sec x(\sec^2x-1)dx$ $=\sec x\tan x-\int \sec^3xdx+\int \sec xdx$ $\int \sec^3xdx=\frac{1}{2}\sec x\tan x+\frac{1}{2}\ln |\sec x+\tan x|+C$

积化和差公式

公式 $\sin A\cos B=\frac{1}{2}[\sin(A-B)+\sin(A+B)]$ $\sin A\sin B=\frac{1}{2}[\cos(A-B)-\cos(A+B)]$ $\cos A\cos B=\frac{1}{2}[\cos(A-B)+\cos(A+B)]$

例题 例9： $\int \sin 4x\cos 5xdx$ 解： $\int \sin 4x\cos 5xdx=\int \frac{1}{2}[\sin(-x)+\sin 9x]dx$ $=\frac{1}{2}\left( \cos x-\frac{1}{9}\cos 9x \right)+C$

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7.3 三角换元

对于 $\int x\sqrt{ a^2-x^2 }dx$ 可以是使用换元 $u=a^2-x^2$ ，但是对于 $\int \sqrt{ a^2-x^2 }dx$ 就不是很好处理，我们可以通过 $x=a\sin\theta$ 将变量 $x$ 变为 $\theta$ 来处理： $\sqrt{ a^2-x^2 }=\sqrt{ a^2-a^2\sin^2\theta }=\sqrt{ a^2(1-\sin^2x) }=\sqrt{ a^2\cos^2x }$ $=a|\cos\theta|$ 三角换元表

根式	三角换元	三角恒等式
$\sqrt{ a^2-x^2 }$	$x=a\sin\theta,-\frac{\pi}{2}\leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{2}$	$1-\sin^2\theta=\cos^2\theta$
$\sqrt{ a^2+x^2 }$	$x=a\tan\theta,-\frac{\pi}{2}\leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{2}$	$1+\tan^2\theta=\sec^2\theta$
$\sqrt{ x^2-a^2 }$	$x=a\sec \theta,0\leqslant \frac{\theta ,\pi}{2}或\pi\leqslant \theta< \frac{3\pi}{2}$	$\sec^2\theta-1=\tan^2\theta$

例题 例1：$\int \frac{\sqrt{ 9-x^2 }}{x^2}dx$ 解： $\sqrt{ 9-x^2 }=\sqrt{ 9-9\sin^2\theta }=3|\cos\theta|=3\cos\theta,dx=3\cos\theta dx$ $\int \frac{\sqrt{ 9-x^2 }}{x^2}dx=\int \frac{3\cos\theta}{9\sin^2\theta}\cdot 3\cos\theta d\theta$ $=\int \cot^2\theta d\theta=\int(\csc^2\theta-1)d\theta=-\cot\theta-\theta+C$ $\sin\theta=\frac{x}{3}\implies \cot\theta= \frac{\sqrt{ 9-x^2 }}{x}$ $\int \frac{\sqrt{ 9-x^2 }}{x^2}dx=-\cot\theta-\theta+C=-\frac{\sqrt{ 9-x^2 }}{x}-\arcsin\left( \frac{x}{3} \right)+C$

例2：求椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 所围成的面积 解： 改成为： $y=\frac{b}{a}\sqrt{ a^2-x^2 }$ $\frac{1}{4}A=\int_{0}^{a} \frac{b}{a}\sqrt{ a^2-x^2 } \, dx$ 令 $x=a\sin\theta$。当 $x=0$ 时，$\theta=0$；当 $x=a$ 时，$\theta=\dfrac{\pi}{2}$。 $\sqrt{ a^2-x^2 }=\sqrt{ a^2-a^2\sin^2\theta }=a\cos\theta$ $A=4 \frac{b}{a}\int_{0}^{a} \sqrt{ a^2-x^2 } \, dx=4 \frac{b}{a}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}a\cos\theta \cdot a\cos\theta \, d\theta$ $=4ab\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2\theta \, d\theta=4ab\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2}(1+\cos 2\theta) \, d\theta$ $=2ab\left[ \theta+\frac{1}{2}\sin 2\theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\pi ab$ 当 $a=b=r$ 时，正好是圆的面积方程：$A=\pi r^2$

7.4 有理函数的积分与部分分式法

部分分式法

有理函数 $f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$ 其中 $P$ 和 $Q$ 是多项式，如果 $P$ 的次数小于 $Q$ 的次数，那么将 $f$ 表示成简单分数之和的形式是可以实现的，这样的有理函数为真分式： $P(x)=a_{n}x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}$ 如果 $f$ 是假分式，需要化简： $f(x)=S(x)+\frac{R(x)}{Q(x)}$

例题 例1：$\int \frac{x^3+x}{x-1}dx$ 解： $\int \frac{x^3+x}{x-1}dx=\int\left( x^2+x+2+\frac{2}{x-1} \right)dx$ $=\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2+2x+2\ln |x-1|+C$

例2：$\int \frac{x^2+2x-1}{2x^3+3x^2-2x}$ 解： 分子的次数比分母的次数低，无法使用长除法，对分母进行因式分解， $2x^3+3x^2-2x=x(2x-1)(x+2)$ 由于分母包含三个不同的线性因式，被积函数可以分解为： $\frac{x^2+2x-1}{x(2x-1)(x+2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{2x-1}+\frac{C}{x+2}$ 通分后： $\frac{x^2+2x-1}{x(2x-1)(x+2)}=\frac{A(2x-1)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(2x-1)}{x(2x-1)(x+2)}$ 上式中分子为一个恒等式，对于任意 $x$ 都成立，不妨直接代入 $\frac{1}{2},-2,0$ ，可以简化运算， 求得： $A=\frac{1}{2},B=\frac{1}{5},C=-\frac{1}{10}$ 因此原式化为

$$\int\left( \frac{1}{2x} +\frac{1}{5(2x-1)} -\frac{1}{10(x+2)} \right)\,dx$$

$=\frac{1}{2}\ln |x|+\frac{1}{10}\ln |2x-1|-\frac{1}{10}\ln |x+2|+K$

公式 $\int \frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln |\frac{x-a}{x+a}|+C$

说明

出现重因式

$Q(x)$ 式线性因式的乘积，其中有重因式。

例题 例3：$\int \frac{x^4-2x^2+4x+1}{x^3-x^2-x+1}dx$ 解： 先进行长除法， $\frac{x^4-2x^2+4x+1}{x^3-x^2-x+1}=x+1+\frac{4x}{x^3-x^2-x+1}$ $=x+1+\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{x+1}$ 可以得到： $4x=A(x-1)(x+1)+B(x+1)+C(x-1)^2$ 求解： $A=1,B=2,C=-1$ $\int \frac{x^4-2x^2+4x+1}{x^3-x^2-x+1}dx=\int\left[ x+1+\frac{1}{x-1}+\frac{2}{(x-1)^2}-\frac{1}{x+1} \right]dx$ $=\frac{1}{2}x^2+x+\ln |x-1|-\frac{2}{x-1}-\ln |x+1|+K$ $=\frac{1}{2}x^2+x-\frac{2}{x-1}+\ln | \frac{x-1}{x+1}|+K$

说明

分母含有不可约二次根式，其中没有重因式

如： $\frac{Ax+B}{ax^2+bx+c}$

公式 $\int \frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}acr\tan\left( \frac{x}{a} \right)+C$

例题 例4：$\int \frac{2x^2-x+4}{x^3+4x}dx$ 解： $\frac{2x^2-x+4}{x(x^2+4)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+4}$ $2x^2-x+4=A(x^2+4)+(Bx+C)x$ $A=1,B=1,C=-1$ $\int \frac{2x^2-x+4}{x^3+4x}dx=\int\left( \frac{1}{x}+\frac{x-1}{x^2+4} \right)dx$ $=\ln |x|+\frac{1}{2}\ln(x^2+4)-\frac{1}{2}\arctan\left( \frac{x}{2} \right)+K$

有理换元

针对 $\sqrt[n]{ g(x) }$ 进行换元，令 $u=\sqrt[n]{ g(x) }$

例5：$\int \frac{\sqrt{ x+4 }}{x}dx$ 解： 令 $u=\sqrt{ x+4 }\implies u^2=x+4,则x=u^2-4,dx=2udu$ $\int \frac{\sqrt{ x+4 }}{x}dx=\int \frac{u}{u^2-4}2udu=2\int \frac{u^2}{u^2-4}du=2\int \left( 1+\frac{4}{u^2-4} \right)du$ $=2u+2\ln | \frac{u-2}{u+2}|+C$ $=2\sqrt{ x+4 }+2\ln | \frac{\sqrt{ x+4 }-2}{\sqrt{ x+4 }+2}|+C$

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7.5 积分策略

$\begin{aligned} (1)&\quad \int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}\\ (2)&\quad \int \frac{1}{x}dx=\ln |x|\\ (3)&\quad \int e^xdx=e^x\\ (4)&\quad \int b^xdx=\frac{b^x}{\ln b}\\ (5)&\quad \int \sin xdx=-\cos x\\ (6)&\quad \int \cos xdx=\sin x\\ (7)&\quad \int \sec^2xdx=\tan x\\ (8)&\quad \int \csc^2xdx=-\cot s\\ (9)&\quad \int \sec x\tan xdx=\sec x\\ (10)&\quad \int \csc x\cot sdx=-\csc x\\ (11)&\quad \int \sec xdx=\ln |\sec x+\tan x|\\ (12)&\quad \int \csc xdx=\ln |\csc x-\cot x|\end{aligned}$ $\begin{aligned} (13)&\quad \int \tan xdx=\ln |\sec x|\\ (10)&\quad \int \cot xdx=\ln |\sin x|\\ (10)&\quad \int \frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\arctan \left( \frac{x}{a} \right)\\ (10)&\quad \int \frac{dx}{\sqrt{ a^2-x^2 }}=\arcsin\left( \frac{x}{a} \right)\\ (10)&\quad \int \frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln | \frac{x-a}{x+a}|\\ (10)&\quad \int \frac{dx}{\sqrt{ x^2\pm a^2 }}=\ln |x+\sqrt{ x^2\pm a^2 }|\end{aligned}$

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7.6 利用积分表和技术工具求积分

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7.7 积分的近似

引文

类似于

$\int_{0}^{1} e^{x^2} \, dx ,\int_{-1}^{1} \sqrt{ 1+x^3 } \, dx$ 这种积分非常难求。

中点法则和梯形法则

中点法则 $\int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx M_{n}=\Delta x[f(\bar{x}_{1})+f(\bar{x}_{2})+\dots+f(\bar{x}_{n})]$ 其中

$$\Delta x=\frac{b-a}{n}, \qquad \bar{x}_i=\frac{x_{i-1}+x_i}{2}$$

$\bar{x}_i$ 是区间 $[x_{i-1},x_i]$ 的中点。

梯形法则 $\int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx T_{n}=\frac{\Delta}{2}[f(x_{0})+2f(x_{1})+\dots+f(x_{n})]$ 其中

$$\Delta x=\frac{b-a}{n}, \qquad x_i=a+i\Delta x$$

误差界 假设对于 $a\leqslant x\leqslant b,|f''(x)|\leqslant K$ ，如果 $E_{T}$ 和 $E_{M}$ 分别表示使用梯形法则所造成的误差和使用中点法则所造成的误差，那么 $|E_{T}|\leqslant \frac{K(b-a)^3}{12n^3},|E_{M}|\leqslant \frac{K(b-a)^3}{24n^2}$

辛普森法则

公式 $\int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx S_{n}=\frac{\Delta x}{3}[f(x_{0})+4f(x_{1})+2f(x_{2})+\dots+2f(x_{n-2})+4f(x_{n-1})+f(x_{n})]$ 其中 $n$ 是偶数， $\Delta x=\frac{b-a}{n}$

辛普森法则的误差界 假设对于 $a\leqslant x\leqslant b,|f^4(x)|\leqslant K$ ，如果 $E_{S}$ 表示使用辛普森法则所造成的误差，那么 $|E_{S}|\leqslant \frac{K(b-a)^5}{180n^4}$

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7.8 反常积分

引文

反常积分

对于定积分 $\int_{a}^{b} f(x) \, dx$ ，在区间 $[a,b]$ 上有无穷间断点，我们称之为反常积分。

类型1：无穷区间上的积分

小结

反常积分的定义(类型1)

(a) 如果对于任意 $t\geqslant a$ ，$\int_{a}^{t} f(x) \, dx$ 都存在，那么 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \, dx =\lim_{ t \to +\infty } \int_{a}^{t} f(x) \, dx$ 只要极限存在（且为有限数）。 (b) 如果对于任意 $t\leqslant b$ ，$\int_{t}^{b} f(x) \, dx$ 都存在，那么 $\int_{-\infty}^{b} f(x) \, dx =\lim_{ t \to +\infty } \int_{t}^{b} f(x) \, dx$ 只要极限存在（且为有限数）。 如果对应的极限存在，那么我们称反常积分 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \, dx$ 和 $\int_{-\infty}^{b} f(x) \, dx$ 收敛；反之，若极限不存在，则称它们发散。 (c) 如果 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \, dx$ 和 $\int_{-\infty}^{b} f(x) \, dx$ 都收敛，那么我们定义 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx =\int_{-\infty}^{a} f(x) \, dx+\int_{a}^{+\infty} f(x) \, dx$ 其中 $a$ 为任意实数。

如果 $p\geqslant 1$ ，那么 $\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^P} \, dx$ 收敛；反之，如果 $p\leqslant 1$ ，那么积分发散。

类型2：不连续函数的积分

小结

反常积分的定义(类型2)

(a)如果 $f$ 在 $[a,b)$ 上连续且在 $b$ 处不连续，那么 $\int_{a}^{b} f(x) \, dx=\lim_{ t \to b^- }\int_{a}^{t} f(x) \, dx$ 只要极限存在（且为有限数） (b)如果 $f$ 在 $(a,b]$ 上连续且在 $a$ 处不连续，那么 $\int_{a}^{b} f(x) \, dx =\lim_{ t \to a^+ } \int_{t}^{b} f(x) \, dx$ 只要极限存在（且为有限数） 如果对应的极限存在，那么我们称反常积分 $\int_{a}^{b} f(x) \, dx$ 收敛；反之，若极限不存在，则称它发散。 (c)如果 $f$ 在 $c$ 处有间断，其中 $a<c<b$ ，并且 $\int_{a}^{c} f(x) \, dx$ 和 $\int_{c}^{b} f(x) \, dx$ 均收敛，那么我们定义 $\int_{a}^{b} f(x) \, dx =\int_{a}^{c} f(x) \, dx+\int_{c}^{b} f(x) \, dx$

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本章总结

• 分部积分适合乘积结构，本质上是乘积求导法则的逆用。
• 三角积分和三角换元依赖恒等式与结构识别。
• 部分分式把复杂有理函数拆成可直接积分的基本项。
• 数值积分在无法求出初等原函数时给出可控近似。
• 反常积分必须先写成极限，再讨论收敛或发散。