第一章：函数与模型

《斯图尔特微积分》第一章读书笔记。本章的任务不是马上进入极限和导数，而是先建立描述函数的统一语言：定义域、值域、图像、基本函数族、函数变换、复合与反函数。

本章地图

小节	核心问题	需要掌握的内容
1.1 表示函数的四种方法	什么是函数？	定义域、值域、四种表示、分段函数、奇偶性、单调性
1.2 数学模型：基本函数导引	常见函数有哪些？	线性、多项式、幂、有理、三角、指数、对数函数
1.3 从基本函数衍生新函数	如何由旧函数得到新函数？	平移、伸缩、对称、四则运算、复合函数
1.4 指数函数	指数增长如何描述？	指数函数图像、指数律、自然常数 $e$
1.5 反函数与对数函数	如何撤销一个函数的作用？	一一函数、反函数、对数、自然对数、反三角函数

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1.1 表示函数的四种方法

函数的定义

设 $D$ 和 $E$ 是两个集合。函数 $f$ 是一条规则，它把定义域 $D$ 中的每个元素 $x$，唯一地对应到 $E$ 中的一个元素 $f(x)$：

$$f:D\to E,\qquad x\mapsto f(x)$$

这里的“唯一”是指：同一个输入不能得到两个不同输出；但不同输入可以得到同一个输出。因此，函数本身不要求是一一对应。

函数与一一函数不是同一个概念

• 函数要求每个输入恰好有一个输出。
• 一一函数还要求不同输入对应不同输出。
• 例如 $f(x)=x^2$ 是函数，但在定义域 $\mathbb{R}$ 上不是一一函数，因为 $f(1)=f(-1)$。

圆

$$x^2+(y-3)^2=5$$

不能在整个圆上把 $y$ 看作 $x$ 的函数，因为同一个 $x$ 可能对应两个不同的 $y$。

函数的四种表示

1. 文字描述：用自然语言说明输入与输出之间的关系。
2. 数值表示：用表格列出若干输入与输出。
3. 图像表示：在坐标系中观察整体变化趋势。
4. 代数表示：用公式或方程描述函数。

不同表示方法强调的信息不同。公式适合计算，图像适合观察趋势，表格适合表达实验数据，文字则适合说明现实模型。

垂线判定

平面内的一条曲线是某个函数 $y=f(x)$ 的图像，当且仅当任意一条垂线与曲线最多相交一次。

垂线判定检查的是：固定一个输入 $x$ 时，是否只有一个输出 $y$。

定义域和值域

• 定义域：允许代入函数的所有输入。
• 值域：函数实际能够取得的所有输出。

求定义域时，常见限制包括：

• 分母不能为 $0$；
• 偶次根号内的表达式必须大于等于 $0$；
• 对数的真数必须大于 $0$；
• 实际模型还可能带有长度、时间、数量等现实约束。

分段函数

如果函数在定义域的不同部分由不同表达式定义，就称为分段函数。例如：

$$g(x)= \begin{cases} 5-x, & x\leq 0,\\ 2x+3, & x>0. \end{cases}$$

绝对值函数也是典型的分段函数：

$$|x|= \begin{cases} x, & x\geq 0,\\ -x, & x<0. \end{cases}$$

奇函数与偶函数

类型	判定条件	图像特征	典型例子
奇函数	$f(-x)=-f(x)$	关于原点中心对称	$x^3,\sin x,\tan x$
偶函数	$f(-x)=f(x)$	关于 $y$ 轴对称	$x^2,\lvert x\rvert,\cos x$

常见运算规律：

• 奇函数与奇函数的和仍是奇函数；
• 偶函数与偶函数的和仍是偶函数；
• 奇函数与奇函数的积是偶函数；
• 偶函数与偶函数的积是偶函数；
• 奇函数与偶函数的积是奇函数。

复合函数的奇偶性

设复合函数为 $(f\circ g)(x)=f(g(x))$：

• 若 $g$ 是奇函数，则 $f\circ g$ 的奇偶性通常继承外函数 $f$；
• 若 $g$ 是偶函数，则只要复合函数有定义，$f\circ g$ 是偶函数。

记忆时仍要回到定义，直接计算 $(f\circ g)(-x)$ 最可靠。

如果函数可导，那么：

• 奇函数的导函数是偶函数；
• 偶函数的导函数是奇函数。

增函数与减函数

函数 $f$ 在区间 $I$ 上严格递增，是指对任意 $x_1,x_2\in I$：

$$x_1<x_2\quad\Longrightarrow\quad f(x_1)<f(x_2)$$

严格递减则满足：

$$x_1<x_2\quad\Longrightarrow\quad f(x_1)>f(x_2)$$

单调性描述的是输入增大时，输出的整体变化方向。它将在反函数、极限和导数中反复出现。

1.1 习题

例 1：函数值与复合代入

题目

已知 $f(x)=3x^2-x+2$，求 $f(a^2)$ 和 $[f(a)]^2$。

解答

$$f(a^2)=3(a^2)^2-a^2+2=3a^4-a^2+2$$

而

$$[f(a)]^2=(3a^2-a+2)^2 =9a^4-6a^3+13a^2-4a+4$$

需要区分 $f(a^2)$ 和 $[f(a)]^2$：前者先改变输入，后者先计算函数值再平方。

例 2：有理式的定义域

题目

求函数

$$f(u)=\frac{u+1}{1+\frac{1}{u+1}}$$

的定义域。

解答

首先，内层分母要求：

$$u+1\neq 0\quad\Longrightarrow\quad u\neq -1$$

整个分母还要求：

$$1+\frac{1}{u+1}\neq 0$$

解得：

$$u\neq -2$$

因此定义域为：

$$\mathbb{R}\setminus\{-2,-1\}$$

例 3：根式的定义域

题目

求函数

$$h(x)=\sqrt{x^2-4x-5}$$

的定义域。

解答

偶次根式有意义，要求根号内非负：

$$x^2-4x-5=(x-5)(x+1)\geq 0$$

所以：

$$x\leq -1\quad\text{或}\quad x\geq 5$$

定义域为：

$$(-\infty,-1]\cup[5,+\infty)$$

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1.2 数学模型：基本函数导引

常见函数族

函数类型	一般形式	主要特征
线性函数	$f(x)=mx+b$	图像为直线，$m$ 是斜率
多项式	$P(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$	定义域为 $\mathbb{R}$
幂函数	$f(x)=x^a$	图像由指数 $a$ 的类型决定
有理函数	$f(x)=P(x)/Q(x)$	定义域排除 $Q(x)=0$
代数函数	由多项式经有限次代数运算得到	包括多项式、有理式和根式
三角函数	$\sin x,\cos x,\tan x$	具有周期性
指数函数	$f(x)=b^x$	描述倍增或衰减
对数函数	$f(x)=\log_b x$	指数函数的反函数

线性函数

线性函数的斜截式为：

$$y=mx+b$$

其中 $m$ 表示单位输入变化带来的输出变化，$b$ 是 $y$ 轴截距。线性模型适合描述近似恒定的变化率。

多项式

$n$ 次多项式的一般形式为：

$$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0, \qquad a_n\neq 0$$

其中 $n$ 是多项式的次数，$a_n$ 是首项系数。

幂函数与有理函数

幂函数的一般形式是：

$$f(x)=x^a$$

典型情况包括：

• $a=n$：正整数次幂；
• $a=1/n$：$n$ 次根函数；
• $a=-1$：倒数函数 $f(x)=1/x$；
• $a=-2$：平方反比函数 $f(x)=1/x^2$。

有理函数是两个多项式之比：

$$f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)},\qquad Q(x)\neq 0$$

周期性与有界性

如果存在 $T>0$，使得对定义域内所有适用的 $x$ 都有

$$f(x+T)=f(x)$$

则称 $f$ 为周期函数。满足条件的最小正数 $T$ 称为最小正周期。

例如：

$$\sin x,\cos x\text{ 的周期为 }2\pi$$ $$\tan x,\sin 2x,|\sin x|\text{ 的周期为 }\pi$$

如果存在常数 $M>0$，使得定义域内所有 $x$ 都满足

$$|f(x)|\leq M$$

则称 $f$ 在该定义域上有界。例如：

$$|\sin x|\leq 1,\qquad |\cos x|\leq 1$$

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1.3 从基本函数衍生新的函数

图像的平移

设 $c>0$：

新函数	图像变换
$y=f(x)+c$	向上平移 $c$ 个单位
$y=f(x)-c$	向下平移 $c$ 个单位
$y=f(x+c)$	向左平移 $c$ 个单位
$y=f(x-c)$	向右平移 $c$ 个单位

水平平移最容易记反

函数外部的加减决定上下平移；函数内部的加减与左右方向相反。可以记为：

上加下减，左加右减。

图像的伸缩与对称

设 $c>1$：

新函数	图像变换
$y=cf(x)$	竖直方向拉伸为原来的 $c$ 倍
$y=\frac{1}{c}f(x)$	竖直方向压缩为原来的 $1/c$
$y=f(cx)$	水平方向压缩为原来的 $1/c$
$y=f(x/c)$	水平方向拉伸为原来的 $c$ 倍
$y=-f(x)$	关于 $x$ 轴对称
$y=f(-x)$	关于 $y$ 轴对称

函数的四则运算

给定函数 $f$ 和 $g$：

$$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$$ $$(f-g)(x)=f(x)-g(x)$$ $$(fg)(x)=f(x)g(x)$$ $$\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)},\qquad g(x)\neq 0$$

新函数的定义域是参与运算的函数定义域的公共部分，并继续满足分母、根式等额外限制。

复合函数

$f$ 与 $g$ 的复合函数记为 $f\circ g$：

$$(f\circ g)(x)=f(g(x))$$

计算顺序是先作用 $g$，再作用 $f$。一般情况下：

$$f\circ g\neq g\circ f$$

复合函数的定义域还要求 $g(x)$ 必须落在 $f$ 的定义域中。

1.3 习题

例 1：计算复合函数

题目

已知 $f(x)=x^3+5$，$g(x)=\sqrt[3]{x}$，求 $f\circ g$、$g\circ f$、$f\circ f$ 和 $g\circ g$。

解答

$$(f\circ g)(x)=f(\sqrt[3]{x})=x+5$$ $$(g\circ f)(x)=\sqrt[3]{x^3+5}$$ $$(f\circ f)(x)=(x^3+5)^3+5$$ $$(g\circ g)(x)=\sqrt[3]{\sqrt[3]{x}}=x^{1/9}$$

例 2：由 $f\circ g=h$ 反求外函数

题目

已知 $g(x)=2x+1$，$h(x)=4x^2+4x+7$，且 $f\circ g=h$，求函数 $f$。

解答

令 $u=g(x)=2x+1$，则

$$x=\frac{u-1}{2}$$

代入 $h$：

$$h(x)=4\left(\frac{u-1}{2}\right)^2 +4\left(\frac{u-1}{2}\right)+7 =u^2+6$$

因此：

$$f(u)=u^2+6$$

也就是：

$$f(x)=x^2+6$$

例 3：由线性外函数反求内函数

题目

已知 $f(x)=3x+5$，$h(x)=3x^2+3x+2$，且 $f\circ g=h$，求函数 $g$。

解答

由

$$3g(x)+5=3x^2+3x+2$$

可得：

$$g(x)=x^2+x-1$$

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1.4 指数函数

指数函数及其图像

指数函数的一般形式为：

$$f(x)=b^x,\qquad b>0,\quad b\neq 1$$

它的定义域和值域分别为：

$$D_f=\mathbb{R},\qquad R_f=(0,+\infty)$$

• 当 $b>1$ 时，$b^x$ 是增函数；
• 当 $0<b<1$ 时，$b^x$ 是减函数；
• 所有指数函数都经过点 $(0,1)$；
• $y=0$ 是指数函数的水平渐近线。

指数运算法则

在表达式有意义的条件下：

$$b^{x+y}=b^x b^y$$ $$b^{x-y}=\frac{b^x}{b^y}$$ $$(b^x)^y=b^{xy}$$ $$(ab)^x=a^x b^x$$

自然常数 $e$

自然常数

$$e\approx 2.71828$$

以 $e$ 为底的指数函数

$$f(x)=e^x$$

称为自然指数函数。它在连续增长、复利、微分方程和概率模型中具有特殊地位。

1.4 习题

例 1：化简指数式

题目

化简：

$$\frac{x^3x^n}{x^{n+1}}$$

解答

利用同底数幂的乘除法则：

$$\frac{x^3x^n}{x^{n+1}} =x^{3+n-(n+1)} =x^2$$

因此原式化简为：

$$\boxed{x^2}$$

由于原式的分母为 $x^{n+1}$，在通常假设 $n$ 为非负整数时，还需要满足 $x\neq 0$。

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1.5 反函数与对数函数

一一函数与水平线判定

如果

$$x_1\neq x_2\quad\Longrightarrow\quad f(x_1)\neq f(x_2)$$

则称 $f$ 为一一函数，也称单射。

一个函数是一一函数，当且仅当任意水平线与它的图像最多相交一次。这就是水平线判定。

反函数

设 $f$ 是定义域为 $A$、值域为 $B$ 的一一函数，则反函数

$$f^{-1}:B\to A$$

满足：

$$f^{-1}(y)=x\quad\Longleftrightarrow\quad f(x)=y$$

并且：

$$f^{-1}(f(x))=x,\qquad f(f^{-1}(y))=y$$

反函数不是倒数

$$f^{-1}(x)\neq \frac{1}{f(x)}$$

$f^{-1}$ 表示撤销 $f$ 的映射关系，而 $1/f(x)$ 只是函数值的倒数。

反函数的图像与原函数图像关于直线 $y=x$ 对称。

求反函数的一般步骤

1. 写出 $y=f(x)$；
2. 解关于 $x$ 的方程；
3. 交换 $x$ 与 $y$；
4. 写明反函数的定义域。

对数函数

对数函数是指数函数的反函数：

$$\log_b x=y\quad\Longleftrightarrow\quad b^y=x, \qquad b>0,\quad b\neq 1$$

其定义域和值域为：

$$D=(0,+\infty),\qquad R=\mathbb{R}$$

相消关系：

$$\log_b(b^x)=x,\qquad x\in\mathbb{R}$$ $$b^{\log_b x}=x,\qquad x>0$$

对数运算法则：

$$\log_b(xy)=\log_b x+\log_b y$$ $$\log_b\left(\frac{x}{y}\right)=\log_b x-\log_b y$$ $$\log_b(x^r)=r\log_b x$$

这些公式需要满足相应对数真数为正。

自然对数

以 $e$ 为底的对数称为自然对数：

$$\ln x=\log_e x$$

因此：

$$\ln x=y\quad\Longleftrightarrow\quad e^y=x$$ $$\ln(e^x)=x,\qquad x\in\mathbb{R}$$ $$e^{\ln x}=x,\qquad x>0$$

换底公式为：

$$\log_b x=\frac{\ln x}{\ln b}$$

$\ln x$ 是 $e^x$ 的反函数，在 $(0,+\infty)$ 上严格递增，且 $x=0$ 是它的竖直渐近线：

$$\lim_{x\to 0^+}\ln x=-\infty$$

反三角函数

由于三角函数在整个定义域上通常不是一一函数，需要限制定义域后才能定义反函数。

函数	定义域	值域
$y=\arcsin x$	$[-1,1]$	$\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$
$y=\arccos x$	$[-1,1]$	$[0,\pi]$
$y=\arctan x$	$\mathbb{R}$	$\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$

例如：

$$\sin(\arcsin x)=x,\qquad -1\leq x\leq 1$$

但

$$\arcsin(\sin x)=x$$

只在

$$-\frac{\pi}{2}\leq x\leq \frac{\pi}{2}$$

上成立。

1.5 习题

例 1：不必显式求出整个反函数

题目

已知 $f(x)=x^5+x^3+x$，求 $f^{-1}(3)$ 和 $f(f^{-1}(2))$。

解答

因为 $f$ 严格递增，所以存在反函数。由

$$f(1)=1+1+1=3$$

得到：

$$f^{-1}(3)=1$$

利用反函数相消关系：

$$f(f^{-1}(2))=2$$

例 2：通过试值求反函数值

题目

已知 $g(x)=3+x+e^x$，求 $g^{-1}(4)$。

解答

由于

$$g(0)=3+0+1=4$$

所以：

$$g^{-1}(4)=0$$

例 3：限制定义域后求反函数

题目

已知 $f(x)=1-x^2$，定义域为 $x\geq 0$，求 $f^{-1}(x)$， 并写出反函数的定义域。

解答

由

$$y=1-x^2$$

得到：

$$x=\sqrt{1-y}$$

因此：

$$f^{-1}(x)=\sqrt{1-x},\qquad x\leq 1$$

例 4：分式函数的反函数

题目

已知

$$h(x)=\frac{6-3x}{5x-7}$$

求 $h^{-1}(x)$，并写出反函数的定义域。

解答

令

$$y=\frac{6-3x}{5x-7}$$

整理：

$$y(5x-7)=6-3x$$ $$x(5y+3)=6+7y$$

因此：

$$x=\frac{6+7y}{5y+3}$$

交换 $x,y$ 后得到：

$$h^{-1}(x)=\frac{6+7x}{5x+3}, \qquad x\neq -\frac{3}{5}$$

例 5：指数函数的反函数

题目

已知函数 $f(x)=e^{1-x}$，求其反函数。

解答

令

$$y=e^{1-x}$$

两边取自然对数：

$$\ln y=1-x$$

所以：

$$x=1-\ln y$$

反函数为：

$$f^{-1}(x)=1-\ln x,\qquad x>0$$

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常见误区

1. 把函数误解为一一对应：普通函数允许不同输入得到相同输出。
2. 忽略复合函数的定义域：不仅要让 $g(x)$ 有定义，还要保证 $g(x)$ 落入 $f$ 的定义域。
3. 记反水平平移方向：$f(x+c)$ 左移，$f(x-c)$ 右移。
4. 把 $f^{-1}(x)$ 当成 $1/f(x)$：两者含义完全不同。
5. 认为所有 $\log_b x$ 都等于 $\ln x$：只有底数为 $e$ 时，$\log_e x=\ln x$。
6. 忽略公式成立条件：分母、根式、对数真数以及反函数定义域都需要单独检查。

本章总结

这一章建立了后续微积分所需的函数语言：

• 函数把输入映射到唯一输出，定义域和值域决定了讨论边界；
• 基本函数族提供了建模的常用积木；
• 平移、伸缩、对称、四则运算和复合能够生成更复杂的函数；
• 指数函数描述增长与衰减，对数函数负责反向求指数；
• 一一性是反函数存在的关键，限制定义域可以让部分函数获得反函数。

进入极限、导数和积分后，核心问题会从“函数是什么”进一步转向：

当输入发生微小变化时，函数值如何变化？