第六章：积分的应用

《斯图尔特微积分》第六章：积分的应用读书笔记。本章把定积分作为累积工具，用于计算曲线间面积、立体体积、变力做功和函数平均值，并强调正确选择积分变量与切片方式。

本章地图

小节	核心问题	需要掌握的内容
6.1 曲线间的面积	两条曲线之间的面积怎样计算？	上下边界、左右边界、分段积分
6.2 体积	怎样由截面积累积立体体积？	切片法、圆盘法、圆环法
6.3 柱壳法求体积	何时使用圆柱壳更简单？	壳半径、壳高、旋转轴
6.4 功	变力做功怎样累积？	弹簧、抽水、连续质量分布
6.5 函数的平均值	连续函数的平均水平是什么？	积分平均值、中值定理

---

6.1 曲线间的面积

引文

我们定义并计算了函数下方区域的面积，现在我们利用积分求两个函数的图像之间的区域面积。

定义面积 $A$ 为近似矩形面积之和的极限：

$$A=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n \left[f(x_i^*)-g(x_i^*)\right]\Delta x$$

曲线间的面积：求关于 $x$ 的积分

小结

• 曲线 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ 以及直线 $x=a$ 和 $x=b$ 所围成区域的面积为

$A=\int_{a}^{b} |f(x)-g(x)| \, dx$

$$A= \text{$y=f(x)$ 下方区域的面积} - \text{$y=g(x)$ 下方区域的面积}$$

$A=\int_{a}^{b} f(x) \, dx -\int_{a}^{b} g(x) \, dx$

例题

• 例1:求 $y=e^x、y=x、x=0、x=1$ 所围成区域的面积。 解： 上边界为曲线 $y=e^x$，下边界为直线 $y=x$，利用面积公式

$$A=\int_{0}^{1}(e^x-x)\,dx =\left[e^x-\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{1} =e-\frac{3}{2}$$

曲线间的面积：求关于 $y$ 的积分

重点

• 通过将 $x$ 表示为 $y$ 的函数，可以更好地进行计算,如果一个区域由 $x=f(y)、x=g(y)、y=c、y=d$ 围成，那么该区域

$A=\int_{c}^{d} [f(y)-g(y)] \, dy$

注意

如果用 $x_{R}$ 表示右边界，$x_{L}$ 表示左边界，那么

$A=\int_{c}^{d} (x_{R}-x_{L}) \, dy$ 这里需要注意，我们使用右边界减去左边界。

例题

• 例2:求直线 $y=x-1$ 和抛物线 $y^2=2x+6$ 所谓成区域的面积。 解： 联立方程求交点为$(-1.-2),(5,4)$

$\begin{aligned} &\quad A=\int_{-2}^{4} \left[ (y+1)-\left( \frac{1}{2}y^2-3 \right) \right] \, dy=\left[ -\frac{1}{2} \frac{y^3}{3}+\frac{y^2}{2}+4y \right]\bigg|_{-2}^4=18 \end{aligned}$

原讲义插图待补充

原始笔记引用了 6-2.png，但当前目录中没有找到对应图片。正文与公式已保留，后续补入图片后可替换此提示。

6.2 体积

体积的定义

• 柱体的体积定义：

$$\text{体积}=\text{底面积}\times\text{高}, \qquad V=Ah$$

• 令 $S$ 为介于 $x=a$ 和 $x=b$ 之间的立体，如果 $S$ 在过点 $x$ 、垂直于 $x$ 轴的平面 $P_{x}$ 上的截面的面积为 $A(x)$ ，其中 $A$ 为连续函数，则 $S$ 的体积为 $V=\lim_{ n \to \infty } \sum_{i=1}^n A(x_{i}^*)\Delta x=\int_{a}^{b} A(x) \, dx$

旋转体的体积

引文

如果将一个区域绕直线旋转，就会得到一个旋转体。

例 1：求曲线 $y=\sqrt{x}$ 下方从 $x=0$ 到 $x=1$ 的区域绕 $x$ 轴旋转所得立体的体积。

解： $A(x)=\pi (\sqrt{ x })^2=\pi x$ $\begin{aligned} &\quad V=\int_{0}^{1} A(x) \, dx=\int_{0}^{1} \pi x \, dx=\pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^1=\frac{\pi}{2} \end{aligned}$

6.3 柱壳法求体积

柱壳法

其中，壳的厚度：$\Delta r=r_{2}-r_{1}$ 。壳的平均半径：$r=\frac{1}{2}(r_{2}+r_{1})$ ，那么柱壳的体积公式为 $V=2\pi rh \Delta r$ 可以表述为

$$V=\text{周长}\times\text{高}\times\text{厚度}$$

小结 曲线 $y=f(x)$ 下方从 $x=a$ 导 $x=b$ 的区域绕 $y$ 轴旋转所得立体的体积为 当 $0\leqslant a\leqslant b$ 时，

$$V=\int_a^b 2\pi x f(x)\,dx$$

上式中，周长为 $2\pi x$ ，高为 $f(x)$ ，厚度为 $dx$ 。

例题 例1：求曲线 $y=2x^2-x^3$ 和直线 $y=0$ 围成的区域绕 $y$ 轴旋转所得立体的体积。 解： 代入公式， $V=\int_{0}^{2}(2\pi x)(2x^2-x^3) \, dx=\frac{16}{5}\pi$

例题 例2：求直线 $y=x$ 和曲线 $y=x^2$ 围成区域绕 $y$ 轴所得立体的体积。 解： 代入公式， $V=\int_{0}^{1} (2\pi x)(x-x^2) \, dx=\frac{\pi}{6}$

例题 例3：求曲线 $y=\sqrt{ x }$ 下方从 $x=0$ 到 $x=1$ 的区域绕 $x$ 轴旋转所得立体的体积。 解： 将 $y=\sqrt{ x }$ 写成 $x=y^2$ ，绕 $x$ 轴旋转，柱壳半径为 $y$ ，周长为 $2\pi y$ ，高为 $1-y^2$ ，体积为 $V=\int_{0}^{1} (2\pi y)(1-y^2) \, dx=\frac{\pi}{2}$

---

6.4 功

引文

• 由牛顿第二定律，物体所受的力 $F$ 等于物体质量 $m$ 与物体加速度 $a$ 的乘积：

$F=ma=m \frac{d^2s}{dt^2}$

小结

• 功等于力和距离的乘积：

$W=Fd$

• 如果力为 $f(x)$ ，定义使物体从 $a$ 移动到 $b$ 所做的功为 $n\to +\infty$ 时这个近似的极限： $W=\lim_{ n \to \infty } \sum_{i=1}^n f(x_{i}^*)\Delta x=\int_{a}^{b} f(x) \, dx$

例题 例1：设物体在距离原点 $x$ 处时所受力为 $f(x)=x^2+2x$ ，求使它从 $x=1$ 移动到 $x=3$ 所做的功。 解： $W=\int_{1}^{3} (x^2+2x) \, dx=\frac{50}{3}$

• 胡克定律：弹簧伸长 $x$ 个单位所需的拉力与弹簧的弹性系数成正比。 $f(x)=kx$

例题 例2：弹簧从自然长度10cm伸长到15cm需要40N的力，则使其从15cm伸长到18cm需要做多少功？ 解： $k=\frac{40}{0.15-0.1}=800$ $W=\int_{0.05}^{0.08} 800x \, dx =1.56J$

---

6.5 函数的平均值

小结 平均值：定义函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上的平均值为 $f_{avg} =\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x) \, dx$

例题 例1：求函数 $f(x)=1+x^2$ 在区间 $[-1,2]$ 上的平均值。 解： $f_{a vg}=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x) \, dx=\frac{1}{3}\int_{-1}^{2} (1+x^2) \, dx$ $=\frac{1}{3}\left[ x+\frac{x^3}{3} \right]_{-1}^2=2$

积分中值定理

如果 $f$ 在区间 [a,b] 上连续，那么 [a,b] 内一定存在 $c$ ，使得 $f(c)=f_{avg}=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x) \, dx$ $\int_{a}^{b} f(x) \, dx=f(c)(b-a)$

几何理解：对于正值函数 $f$ ，存在一个数 $c$ 使得以 [a,b] 为底、$f(c)$ 为高的矩形的面积等于 $f$ 的图像下方区域从 $a$ 到 $b$ 的面积。

---

第六章复习

题目 1

题目

求曲线 $y=x^2$ 与 $y=8x-x^2$ 所围成区域的面积。

解答

联立两条曲线：

$$x^2=8x-x^2 \quad\Longrightarrow\quad 2x(x-4)=0$$

交点为 $(0,0)$ 和 $(4,16)$。在区间 $[0,4]$ 上，上方曲线为 $y=8x-x^2$，下方曲线为 $y=x^2$，所以

$$\begin{aligned} S &=\int_0^4\left[(8x-x^2)-x^2\right]\,dx\\ &=\left[4x^2-\frac{2}{3}x^3\right]_0^4\\ &=\frac{64}{3}. \end{aligned}$$

题目 2

题目

由曲线 $y=2x$ 与 $y=x^2$ 围成的区域绕 $x$ 轴旋转，求所得立体的体积。

解答

两条曲线的交点为 $(0,0)$ 和 $(2,4)$。在 $0\leq x\leq 2$ 上，圆环的外半径和内半径分别为

$$R(x)=2x, \qquad r(x)=x^2.$$

因此

$$\begin{aligned} V &=\pi\int_0^2\left[R^2(x)-r^2(x)\right]\,dx\\ &=\pi\int_0^2(4x^2-x^4)\,dx\\ &=\pi\left[\frac{4}{3}x^3-\frac{1}{5}x^5\right]_0^2\\ &=\frac{64\pi}{15}. \end{aligned}$$

题目 3

题目

由曲线 $x=1+y^2$ 与直线 $y=x-3$ 围成的区域绕 $y$ 轴旋转，求所得立体的体积。

解答

把直线写成 $x=y+3$。联立

$$1+y^2=y+3$$

得到 $y=-1,2$，对应交点为 $(2,-1)$ 和 $(5,2)$。采用关于 $y$ 的圆环法：

$$R(y)=y+3, \qquad r(y)=1+y^2.$$

因此

$$\begin{aligned} V &=\pi\int_{-1}^{2} \left[(y+3)^2-(1+y^2)^2\right]\,dy\\ &=\pi\int_{-1}^{2} \left(-y^4-y^2+6y+8\right)\,dy\\ &=\frac{117\pi}{5}. \end{aligned}$$

题目 4

题目

由曲线 $y=x^2+1$ 与 $y=9-x^2$ 围成的区域绕直线 $y=-1$ 旋转，求所得立体的体积。

解答

两条曲线交于 $x=\pm2$。圆环的外半径和内半径分别为

$$R(x)=10-x^2, \qquad r(x)=x^2+2.$$

被积函数为偶函数，因此

$$\begin{aligned} V &=2\pi\int_0^2 \left[(10-x^2)^2-(x^2+2)^2\right]\,dx\\ &=2\pi\int_0^2(96-24x^2)\,dx\\ &=2\pi\left[96x-8x^3\right]_0^2\\ &=256\pi. \end{aligned}$$

---

本章总结

• 面积计算始终遵循“上减下”或“右减左”，必要时应分段。
• 体积的统一思想是把微小截面积累积起来。
• 圆盘、圆环和柱壳法的关键在于切片方向与旋转轴的关系。
• 变力做功是力关于位移的积分。
• 函数平均值把离散平均推广到连续区间。