第四章：导数的应用

《斯图尔特微积分》第四章：导数的应用读书笔记。本章关注导数能够告诉我们什么：函数在哪里增减、何处取得极值、图像如何弯曲，以及怎样解决优化和数值求根问题。

本章地图

小节	核心问题	需要掌握的内容
4.1 最大值与最小值	函数在哪里取得最值？	绝对极值、局部极值、临界值、闭区间法
4.2 中值定理	局部变化如何约束整体变化？	罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理
4.3 导数反映图像的形状	怎样从导数读出图像？	单调性、凹凸性、拐点、一阶与二阶导数检验
4.4 不定形与洛必达法则	不定式极限怎样处理？	$0/0$、$\infty/\infty$、积差幂型不定式
4.5 曲线绘图	怎样系统绘制函数图像？	定义域、截距、渐近线、单调区间、凹凸性
4.6 利用微积分和技术工具绘图	技术工具怎样辅助分析？	窗口选择、局部细节、解析验证
4.7 优化问题	怎样把现实问题转为极值问题？	目标函数、约束、可行域、端点检查
4.8 牛顿法	怎样迭代逼近方程的根？	切线迭代、初值、收敛性
4.9 原函数	已知导数怎样找回原函数？	原函数族、积分常数、基本公式

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4.1 最大值与最小值

引文

优化问题是微分学最重要的应用之一，在这种问题中，我们需要寻找做一件事的最有方法。

最值和极值

最值定义：设 $c$ 是函数 $f$ 的定义域 $D$ 内的一个数。

如果对于所有 $x \in D$ 都有 $f(c)\geqslant f(x)$ ，那么就称 $f(c)$ 为函数 $f$ 在定义域 $D$ 上的最大值。

如果对于所有 $x \in D$ 都有 $f(c)\leqslant f(x)$ ，那么就称 $f(c)$ 为函数 $f$ 在定义域 $D$ 上的最小值。

极值定义：设 $c$ 是函数 $f$ 的定义域 $D$ 内的一个数。

如果对于附 $c$ 附近的 $x$ 都有 $f(c)\geqslant f(x)$ ，那么就称 $f(c)$ 为函数 $f$ 的一个极大值。

如果对于附 $c$ 附近的 $x$ 都有 $f(c)\leqslant f(x)$ ，那么就称 $f(c)$ 为函数 $f$ 的一个极小值。

小结

• 最值定理：闭区间 $[a,b]$ 上的连续函数 $f$ 一定会在 $[a,b]$ 内的某点 $c$ 和某点 $d$ 处分别取得最大值 $f(c)$ 和最小值 $f(d)$ 。

临界值和闭区间法

小结

• 费马定理（表述1）：如果 $f$ 在 $c$ 处取得极大值或极小值，并且 $f'(x)$ 存在，那么 $f'(c)=0$
• 费马定理（表述2）：如果 $f$ 在 $c$ 处取得极大值或极小值，那么 $c$ 是 $f$ 的临界值。

• 费马定理的启示：我们可以从 $f'(c)=0$ 或 $f'(c)$ 不存在的 $c$ 开始寻找极值。
• 临界值：函数 $f$ 的临界值是指 $f$ 的定义域内的数 $c$ ，它使得 $f'(c)=0$ 或 $f'(c)$ 不存在。
• 如果函数 $f$ 在 $c$ 处有极大值和极小值，那么 $c$ 是 $f$ 的临界值。

注意

• 费马定理的逆定理通常不成立！！

闭区间法：

1、求出 $f$ 在 $(a,b)$ 上的临界值对应的值； 2、求出 $f$ 在区间端点处的值； 3、对比前两步求的值，获得最大值和最小值。

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4.2 中值定理

罗尔定理

小结

罗尔定理：设函数 $f$ 满足下面三条假设 1、$f$ 是闭区间$[a,b]$ 上的连续函数； 2、$f$ 在开区间$(a,b)$ 上可微； 3、$f(a)=f(b)$ 。 那么，在区间 $(a,b)$ 内存在一个数 $c$ ，使得 $f'(c)=0$

中值定理（拉格朗日）

引文

罗尔定理主要用来证明下面这个定理，它由法国数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日首先提出。

中值定理：设函数 $f$ 满足下面的假设

1、$f$ 是闭区间$[a,b]$ 上的连续函数； 2、$f$ 在开区间$(a,b)$ 上可微； 那么，在区间 $(a,b)$ 内存在一个数 $c$ ，使得

$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

• 定理：若 $f'(x)=0$ 对于区间 $(a,b)$ 内的所有 $x$ 都成立，那么 $f$ 在 $(a,b)$ 上为常数。
• 推论：若 $f'(x)=g'(x)$ 对于区间 $(a,b)$ 内所有的 $x$ 都成立，那么 $f-g$ 在区间 $(a,b)$ 上为常数，可以得到 $f(x)=g(x)+c,c\text{为常数}$

柯西中值定理

小结

柯西中值定理：设函数 $f$ 满足下面的假设 1、$f,g$ 是闭区间$[a,b]$ 上的连续函数； 2、$f,g$ 在开区间$(a,b)$ 上可微，且$\forall x \in (a,b),g'(x)\neq 0$ 那么，在区间 $(a,b)$ 内存在一个数 $c$ ，使得

$\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$

4.2 习题

题目 1

题目

证明方程

$$x^3-15x+c=0$$

在区间 $[-2,2]$ 内最多有一个解。

解答

方法一：利用单调性

设

$$f(x)=x^3-15x+c$$

则

$$f'(x)=3x^2-15$$

在区间 $[-2,2]$ 内有 $x^2\leq 4<5$，所以

$$f'(x)=3x^2-15<0$$

因此 $f$ 在 $[-2,2]$ 上严格递减，方程 $f(x)=0$ 在该区间内至多有一个解。

说明

单调性证明方法： 1、对函数进行求导，利用导数判断单调性。 2、单调函数在一个区间内至多只有一个根。 3、在几何图像可以理解为，一条水平线与单调函数至多只有一个交点。

方法二：利用罗尔定理反证

假设方程在区间 $[-2,2]$ 内存在两个不同的解 $x_1<x_2$，则

$$f(x_1)=f(x_2)=0$$

函数 $f$ 在 $[x_1,x_2]$ 上连续、在 $(x_1,x_2)$ 上可微。根据罗尔定理，存在 $\xi\in(x_1,x_2)$，使得

$$f'(\xi)=0$$

但

$$f'(\xi)=3\xi^2-15=0 \quad\Longrightarrow\quad \xi=\pm\sqrt{5}$$

而 $\pm\sqrt{5}\notin(-2,2)$，产生矛盾。因此原方程在 $[-2,2]$ 内最多有一个解。

说明

利用罗尔定理证明： 1、构造函数 $f(x)$ 使其满足罗尔定理。 2、在两根中间必然存在 $\xi$ 满足 $f'(\xi)=0$ 。 3、与罗尔定理产生矛盾。

4.3 导数反映图像的形状

引文

微积分的应用需要我们对函数的导数进行分析，从而推断出函数的事实。导数反映了函数曲线在每一点的变化方向和节奏。

$f'$ 对 $f$ 的影响

• 切线切率的正负对函数的增减有直接影响。

小结

单调性判定

$\mathbf{i}$ 如果在某个区间上有 $f'(x)>0$ ，那么 $f(x)$ 在这个区间上递增。 $\mathbf{ii}$ 如果在某个区间上有 $f'(x)<0$ ，那么 $f(x)$ 在这个区间上递减。

• 函数在一点处有极值，根据费马定理，那么这一点处一定存在临界值，但临界值不一定会是极值，我们需要一种判断方法。

小结

一阶导数判定

$\mathbf{i}$ 如果 $f'$ 在 $c$ 处由正变为负，那么 $f$ 在 $c$ 处有一个极大值。 $\mathbf{ii}$ 如果 $f'$ 在 $c$ 处由负变正，那么 $f$ 在 $c$ 处有一个极小值。 $\mathbf{iii}$ 如果 $f'$ 在 $c$ 处符号不发生改变，那么 $f$ 在 $c$ 处不存在极值。

以上结论，我们默认从左侧向右侧讨论。

$f''$ 对 $f$ 的影响

• 即使都是增函数，也会有所不同，有的增长速度变缓，有的增长速度变快。

提示

上凹与下凹的定义

如果一个函数 $f$ 在区间 $I$ 的图像位于它的所有切线上方，那么称 $f$ 在区间 $I$ 上为上凹。 如果一个函数 $f$ 在区间 $I$ 的图像位于它的所有切线下方，那么称 $f$ 在区间 $I$ 上为下凹。

凹性判定

如果对区间 $I$ 内的任意 $x$ ，都有 $f''(x)>0$ ，那么函数 $f$ 在区间 $I$ 上的图像是上凹的。 如果对区间 $I$ 内的任意 $x$ ，都有 $f''(x)<0$ ，那么函数 $f$ 在区间 $I$ 上的图像是下凹的。

• 拐点定义：曲线 $y=f(x)$ 在 $P$ 处连续，并且在 $P$ 处由上凹变为下凹，或者由下凹变为上凹，那么 $P$ 称为曲线的一个拐点。

小结

二阶导数判定

假设 $f''$ 在 $c$ 附近是连续的。 $\mathbf{i}$ 当 $f'(c)=0$ 且 $f''(c)>0$ 时，$f$ 在 $c$ 处有一个极小值。 $\mathbf{ii}$ 当 $f'(c)=0$ 且 $f''(c)<0$ 时，$f$ 在 $c$ 处有一个极大值。

4.4 不定形与洛必达法则

引文

对于 $\frac{0}{0}$ 这种特殊类型的极限，它的值不是显而易见的，我们需要其他方法来分析函数。

不定形（$\frac{0}{0}$型和$\frac{\infty}{\infty}$型）

• 对于形如： $\lim_{ x \to a } \frac{f(x)}{g(x)}$

这样的极限，当 $x \to a$ 时，$f(x) \to 0$ ，$g(x) \to 0$ ，那么这个极限可能存在，也可能不存在，称这种极限为 $\frac{0}{0}$型不定型。

这样的极限，当 $x \to a$ 时，$f(x) \to \infty$ ，$g(x) \to \infty$ ，那么这个极限可能存在，也可能不存在，称这种极限为 $\frac{\infty}{\infty}$型不定型。

洛必达法则

小结

设在包含 $a$ 的开区间 $I$ 上，$f$ 和 $g$ 可微，$g'(x)\neq 0$，并且

$\lim_{ x \to a }f(x)=0,\lim_{ x \to a } g(x)=0$ 或者 $\lim_{ x \to a } f(x)=\pm \infty,\lim_{ x \to a } g(x)=\pm \infty$ 那么当 $\lim_{ x \to a } \frac{f'(x)}{g'(x)}$存在时 $\lim_{ x \to a } \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{ x \to a } \frac{f'(x)}{g'(x)}$

注意

1、应用洛必达法则需要满足一定的条件，不可随便使用。 2、洛必达法则对于单侧极限和无穷远处的极限都适用。

积的不定型（$0\cdot \infty$ 型）

• 将函数 $fg$ 转化成商的形式： $fg=\frac{f}{\frac{1}{g}}$

差的不定型（$\infty-\infty$ 型）

• 通过通分、有理化或提公因式，转化成 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型，然后进行计算。

幂的不定型（$0^0$ 型、 $\infty ^0$ 型和 $1^{\infty}$ 型）

• 这些不定型源于极限： $\lim_{ x \to a } [f(x)]^{g(x)}$

$\lim_{ x \to a }f(x)=0$ ，$\lim_{ x \to a }g(x)=0$ ，此时极限称为 $0^0$ 型不定型； $\lim_{ x \to a }f(x)=+\infty$ ，$\lim_{ x \to a }g(x)=0$ ，此时极限称 $\infty ^0$ 型不定型； $\lim_{ x \to a }f(x)=1$ ，$\lim_{ x \to a }g(x)=\pm \infty$ ，此时极限称为 $1^{\infty}$ 型不定型。

• 这三种情况可以通过取自然对数的方法处理： $\text{设}y=[f(x)]^{g(x)},\text{则}\ln y=g(x)\ln f(x)$
• 将函数写为指数形式： $[f(x)]^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)}$

注意

$0^0$ 无意义，可以这么理解：$2^0=2^{1-1}=\frac{2^1}{2^1}$，那么$0^0=0^{1-1}=\frac{0^1}{0^1}$，所以无意义。

1、配合无穷小替换，效果更佳。 2、分离趋于常数的项，简化求导过程。

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4.4 练习

• 求极限。在适当的时候使用洛必达。

• $\begin{aligned}\lim_{ x \to 1 } \frac{x^7-1}{x^3-1}\end{aligned}$ 解： $\begin{aligned}\lim_{ x \to 1 } \frac{x^7-1}{x^3-1}=\lim_{ x \to 1 } \frac{7x^6}{3x^2}=2\end{aligned}$

• $\begin{aligned} \lim_{ x \to \frac{\pi}{4} } \frac{\sin x-\cos x}{\tan x-1} \end{aligned}$ 解： $\begin{aligned} \lim_{ x \to \frac{\pi}{4} } \frac{\sin x-\cos x}{\tan x-1}=\lim_{ x \to \frac{\pi}{4} } \frac{\cos x+\sin x}{\sec^2x}=[(\cos x+\sin x)\cos^2x] \bigg|_{x=\frac{\pi}{4}}=\frac{\sqrt{ 2 }}{2}\end{aligned}$

• $\begin{aligned} \lim_{ x \to 0 } \frac{\tan 3x}{\sin 2x} \end{aligned}$ 解： 无穷小替换：$\tan 3x\sim3x,\sin2x\sim 2x$ ，$\begin{aligned} \lim_{ x \to 0 } \frac{\tan 3x}{\sin 2x} =\lim_{ x \to 0 } \frac{3x}{2x}=\frac{3}{2}\end{aligned}$

• $\begin{aligned} \lim_{ t \to 0 } \frac{e^{2t}-1}{\sin t} \end{aligned}$ 解： 无穷小替换：$e^{2t}-1\sim 2t，\sin t\sim t$ ，$\begin{aligned} \lim_{ t \to 0 } \frac{e^{2t}-1}{\sin t}=\lim_{ t \to 0 } \frac{2t}{t}=2 \end{aligned}$

• $\begin{aligned} \lim_{ \theta \to \pi } \frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta} \end{aligned}$ 解： $\cos \pi=-1$ ，直接代入即可，$\begin{aligned} \lim_{ \theta \to \pi } \frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta} =\frac{1-1}{1-(-1)}=0\end{aligned}$

• $\begin{aligned} \lim_{ x \to 0 } \frac{\sqrt{ 1+2x }-\sqrt{ 1-4x }}{x} \end{aligned}$ 解： 分子有理化：$\begin{aligned} \lim_{ x \to 0 } \frac{\sqrt{ 1+2x }-\sqrt{ 1-4x }}{x} =\lim_{ x \to 0 } \frac{1+2x-1+4x}{x(\sqrt{ 1+2x }+\sqrt{ 1-4x })}=3\end{aligned}$

• $\begin{aligned} \lim_{ x \to 0 } \frac{\sinh x-x}{x^3} \end{aligned}$ 解： 泰勒展开，$\begin{aligned} \sinh x=x+\frac16x^3+o\left(x^3\right) \end{aligned}$ $\begin{aligned} \sinh x-x \sim\frac16x^3 \end{aligned}$ $\begin{aligned} \lim_{ x \to 0 } \frac{\sinh x-x}{x^3} =\lim_{ x \to 0 } \frac{\frac{1}{6}x^3}{x^3}=\frac{1}{6}\end{aligned}$

• $\begin{aligned} \lim_{ x \to 0 } \frac{x-\sin x}{x-\tan x} \end{aligned}$ 解： 泰勒展开，$\begin{aligned} \sin x=x-\frac1{6}x^3+o\left(x^3\right) \end{aligned}$ $\begin{aligned} \tan x=x+\frac13x^3+o\left(x^3\right) \end{aligned}$ $\begin{aligned} \lim_{ x \to 0 } \frac{x-\sin x}{x-\tan x} =\frac{\frac{1}{6}}{-\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}\end{aligned}$

• $\begin{aligned} \lim_{ x \to 0 } \frac{\sin^{-1}x}{x} \end{aligned}$ 解： $\begin{aligned} \lim_{ x \to 0 } \frac{\sin^{-1}x}{x} =\lim_{ x \to 0 }\frac{1}{\sqrt{ 1-x^2 }}=1\end{aligned}$

• $\begin{aligned} \lim_{ x \to +\infty } \sin 5x \csc 3x \end{aligned}$ 解： $\begin{aligned} \lim_{ x \to +\infty } \sin 5x \csc 3x =\lim_{ x \to +\infty } \frac{\sin5x}{\sin 3x}\end{aligned}$ 不收敛，所以极限不存在

• $\begin{aligned} \lim_{ x \to 0 }(1-\cos x)^{\sin x} \end{aligned}$ 解： $(1-\cos x)^{\sin x}=e^{\sin x\ln(1-\cos x)}$ 指数部分：$\begin{aligned} \lim_{ x \to 0 } \sin x\ln(1-\cos x)=[x\cdot \frac{1}{2}x^2]\bigg|_{x=0}=0 \end{aligned}$ $\begin{aligned} \lim_{ x \to 0 }(1-\cos x)^{\sin x} =e^0=1\end{aligned}$

• $a$ 和 $b$ 为何值时，下式成立。 $\lim_{ x \to 0 } \left( \frac{\sin 2x}{x^3}+a+\frac{b}{x^2} \right)=0$ 解： 原式=$\begin{aligned} \lim_{ x \to 0 } \left( \frac{\sin 2x+ax^3+bx}{x^3}\right)=0 \end{aligned}$ 泰勒展开 ($x\to 0)$：$\begin{aligned} \sin 2x\sim 2x-\frac{1}{6}(2x)^3=2x-\frac{4}{3}x^3+o(x^3)\end{aligned}$ 原式=$\begin{aligned} \lim_{ x \to 0 } \left( \frac{2x-\frac{4}{3}x^3+o(x^3)+ax^3+bx}{x^3}\right)=0 \end{aligned}$ $\begin{aligned}=\lim_{ x \to 0 }\left( \frac{\left( a-\frac{4}{3}+ \right)x^3+(2+b)x+o(x^3)}{x^3} \right)\end{aligned}$ $\begin{aligned} \therefore a-\frac{4}{3}=0,2+b=0\implies a=\frac{4}{3},b=-2\end{aligned}$

• $\begin{aligned} \lim_{ x \to +\infty } \left[ x-x^2\ln\left( \frac{1+x}{x} \right) \right] \end{aligned}$ 解： 原式=$\begin{aligned} \lim_{ x \to +\infty } \left[ x-x^2\ln\left( \frac{1}{x}+1 \right) \right] \end{aligned}$ 设$\begin{aligned} t=\frac{1}{x},\text{则}t\to0^+ \end{aligned}$ 原式=$\begin{aligned} \lim_{ t \to 0^+ } \left[ \frac{1}{t}- \frac{1}{t^2}\ln(t+1) \right] \end{aligned}$ 泰勒展开 $t\to 0$：$\ln(t+1)=t-\frac{1}{2}t^2+o(t^2)$ 原式=$\begin{aligned}\lim_{ x \to 0^+ } \left[ \frac{1}{t}-\frac{1}{t^2}\left( t-\frac{1}{2}t^2+0(t^2) \right) \right] =\lim_{ x \to 0^+ } \frac{t-t+\frac{1}{2}t^2-o(t^2)}{t^2}=\frac{1}{2}\end{aligned}$

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4.5 曲线绘图

曲线绘图指南

A、定义域：确定 $f$ 的定义域 $D$ 。 B、截距：$y$ 轴截距为 $f(0)$ 。 C、对称性：奇偶性判定，周期性判定。 D、渐近线：水平渐近线；垂直渐近线；斜渐近线。 E、单调性：递增区间和递减区间。 F、极值：极大值和极小值。 G、凹性和拐点：计算 $f''$ 判断凹性。 H、画出曲线。

斜渐近线

• 如： $\lim_{ x \to +\infty } [f(x)-(mx+b)]=0$

小结

其中 $m\neq 0$ ，那么直线 $y=mx+b$ 称为一条斜渐近线。 对于有理函数，当分子的次数比分母次数多1时，斜渐近线就会出现，我们通过长除法即可求得斜渐近线的方程。

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4.6 利用微积分和技术工具绘图

引文

这里我们从图像计算器或计算机生成函数图像，不断细化。

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4.7 优化问题

小结

1、理解问题：仔细读题，知悉已知量和未知量。 2、画图：画出图像作标记。 3、引入符号：引入函数 $f(x)$，进行求解。 4、解决问题：构建已知量和未知量的联系，破解问题。

4.8 牛顿法

代解方程的理想形式为 $f(x)=0$ ，这个方程的解对应 $f$ 的图像在 $x$ 轴的截距，从第一个近似值 $x_{1}$ 开始，根据猜测，在点 $(x_{1},f(x_{1}))$ 处作曲线 $y=f(x)$ 的切线 $L$ ，$L$ 的 $x$ 轴截距记为 $x_{2}$ 。 为了求 $x_{2}$ 关于 $x_{1}$ 的表达式，利用 $L$ 的斜率 $f'(x_{1})$ ，可得方程： $y-f(x_{1})=f'(x_{2})(x-x_{1})$ 因为 $L$ 的 $x$ 轴截距为 $x_{2}$ ，且点 $(x_{2},0)$ 在切线上，所以 $0-f(x_{1})=f'(x_{1})(x_{2}-x_{1})$ 如果 $f'(x_{1})\neq 0$ ，可得方程： $x_{2}=x_{1}-\frac{f(x_{1})}{f'(x_{2})}$ 可以得到 $x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}$ 如果随着 $n$ 不断增大，$x_{n}$ 不断趋近 $r$ ，就成这个序列收敛于 $r$ ，记作： $\lim_{ n \to +\infty } x_{n}=r$

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4.9 原函数

引文

在知道了某个粒子的运动速度后，可能也想知道此时它的位置，那么我们引出了一个问题：如何求出一个函数，使得已知函数是它的导数。

函数的原函数

• 定义：如果对于区间 $I$ 上的所有 $x$ 都有 $F'(x)=f(x)$ ，则函数 $F$ 称为函数 $f$ 在区间 $I$ 上的一个原函数。

提示

定理：如果 $F$ 是 $f$ 在区间 $I$ 上的一个原函数，则 $f$ 在区间 $I$ 上的原函数通式为

$F(x)+C$ 其中 $C$ 为常数。

函数	原函数	函数	原函数
$cf(x)$	$cF(x)$	$\sin x$	$-\cos x$
$f(x)+g(x)$	$F(x)+G(x)$	$\sec^2x$	$\tan x$
$x^n,(n\neq-1)$	$\begin{aligned}\frac{x^{n+1}}{n+1}\end{aligned}$	$\sec x\tan x$	$\sec x$
$\begin{aligned}\frac{1}{x}\end{aligned}$	$\ln$ |$x$|	$\begin{aligned}\frac{1}{\sqrt{ 1-x^2 }}\end{aligned}$	$\sin^{-1}x$
$e^x$	$e^x$	$\begin{aligned}\frac{1}{1+x^2}\end{aligned}$	$\tan^{-1}x$
$b^x$	$\begin{aligned} \frac{b^x}{\ln b}\end{aligned}$	coshx	$\sinh x$
$\cos x$	$\sin x$	sinhx	$\cosh x$

提示

• 涉及函数导数的方程称为微分方程。

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本章总结

• 临界值是寻找极值的候选点，但临界值本身不保证一定取得极值。
• 中值定理把区间上的平均变化率与某点的瞬时变化率联系起来。
• 一阶导数控制增减，二阶导数帮助判断凹凸性和拐点。
• 洛必达法则只适用于满足条件的不定式，使用前必须先判断类型。
• 优化与牛顿法体现了导数在建模和数值计算中的直接价值。