第十章：参数方程与极坐标

《斯图尔特微积分》第十章：参数方程与极坐标读书笔记。本章引入参数和极坐标两种描述曲线的语言，并把导数、面积、弧长和曲面面积公式迁移到新的坐标表示中。

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小节	核心问题	需要掌握的内容
10.1 由参数方程定义的曲线	怎样用第三个变量描述运动轨迹？	参数方程、消参、方向、旋轮线
10.2 参数曲线的微积分	参数曲线怎样求导和积分？	切线、二阶导数、面积、弧长、曲面面积
10.3 极坐标系	怎样用距离和方向定位点？	极坐标、坐标转换、极坐标图形
10.4 极坐标下的微积分	极坐标曲线怎样计算几何量？	面积、弧长、切线
10.5 圆锥曲线	圆锥曲线有哪些统一性质？	抛物线、椭圆、双曲线、平移
10.6 极坐标下的圆锥曲线	怎样统一描述圆锥曲线轨道？	焦点准线定义、离心率、开普勒定律

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10.1 由参数方程定义的曲线

对于复杂曲线 $C$ 我们需要引入第三变量来进行描述。

参数方程

假设 $x$ 和 $y$ 都是第三个变量 $t$ 的函数， $x=f(t),\qquad y=g(t)$ 坐标 $(x,y)=(f(t),g(t))$ 描绘的曲线称为参数曲线。

例1：参数方程定义曲线： $x=t^2-2t,y=t+1$ $x=t^2-2t=(y-1)^2-2(y-1)=y^2-4y+3$ $x=y^2-4y+3$ 我们求出了 $x$ 和 $y$ 的笛卡儿方程，消掉参数的过程称之为消参。

一般参数方程： $x=f(t),y=g(t),a\leqslant t\leqslant b$ 对应的曲线以 $(f(a),g(a))$ 为起点，以 $(f(b),g(b))$ 为终点。

圆心为 $(h,k)$ ,半径为 $r$ 的圆的参数方程。 $x=h+r\cos t,\qquad y=k+r\sin t,\qquad 0\leqslant t\leqslant 2\pi$

旋轮线

原讲义插图待补充

原始笔记引用了 10-1.1.png，但当前目录中没有找到对应图片。正文与公式已保留，后续补入图片后可替换此提示。

参数方程： $x=r(\theta-\sin\theta),y=r(1-\cos\theta),\theta \in \mathbb{R}$ 这条曲线与最速降线问题产生联系。

参数曲线族

参数方程： $x=a+\cos t,y=a\tan t+\sin t$ 这些曲线由古希腊学者尼克米迪斯命名为蚌线。

10.2 参数曲线的微积分

切线

链式法则： $\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\cdot \frac{dx}{dt}$ 如果 $\dfrac{dx}{dt}\neq 0$，则

$$\frac{dy}{dx} =\frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}$$

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left( \frac{dy}{dx} \right)=\frac{\dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{dy}{dx} \right)}{\dfrac{dx}{dt}}$ 例题 例1：曲线 $C$ 由参数方程 $x=t^2,y=t^3-3t$ 定义。 (a) 证明 $C$ 在点 $(3,0)$ 处有两条切线，求它们的方程。 (b) 求 $C$ 在哪些点处的切线是水平的或垂直的。 (c) 确定曲线上凹还是下凹。 解：

原讲义插图待补充

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(a)在点 $(3,0)$ 处， $x=t^2=3$ $y=t^3-3t=0$ 求得： $t=\pm \sqrt{ 3 }$ $\frac{dy}{dx}=\frac{3t^2-3}{2t}=\pm \sqrt{ 3 }$ 切线方程： $y=\sqrt{ 3 }(x-3),y=1\sqrt{ 3 }(x-3)$ (b)当 $\dfrac{dy}{dx}=0$ ，即 $\dfrac{dy}{dt}=0$ ，且 $\dfrac{dx}{dt}\neq 0$ ，存在水平切线。 $\frac{dy}{dt}=3t^2-3=0\implies t=\pm 1$ 此时，对应点为 $(1,-2),(1,2)$。 当 $\dfrac{dx}{dt}=2t=0$ ，存在垂直切线，对应点为 $(0,0)$。 (c)求二阶导数 $\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\dfrac{6t^2+6}{4t^2}}{2t^2}=\frac{3t^2+3}{4t^3}$ 因此，当 $t>0$ 时曲线上凹，当 $t<0$ 时曲线下凹。

例题 例2： (a) 求旋轮线 $x=r(\theta-\sin\theta),y=r(1-\sin\theta)$ 在点 $\theta=\dfrac{\pi}{3}$ 处的切线。 (b)哪些点处的切线时水平？哪些是垂直的？ 解： (a)切线斜率： $\frac{dy}{dx}=\frac{r\sin\theta}{r(1-\cos\theta)}=\frac{\sin\theta}{1-\cos\theta}=\sqrt{ 3 }$ 当 $\theta=\frac{\pi}{3}$ 时， $x=r\left( \frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{ 3 }}{2} \right),y=r\left( 1-\cos \frac{\pi}{3} \right)=\frac{r}{2}$ 切线方程为 $y-\frac{r}{2}=\sqrt{ 3 }\left( x-\frac{r\pi}{3}+\frac{r\sqrt{ 3 }}{2} \right)$

原讲义插图待补充

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(b) 当 $\dfrac{dy}{dx}=0$ 时，切线是水平的

$$\sin\theta=0, \qquad 1-\cos\theta\neq 0$$

即 $\theta=(2n-1)\pi$ , $n$ 为整数，旋轮线上对应的点为 $((2n-1)\pi,2r)$ 。 当 $\theta=2n\pi$ 时，$\dfrac{dx}{d\theta}$ 和 $\dfrac{dy}{d\theta}$ 都为 0，此时存在垂直切线。 此时， $x=2n\pi r$

面积

参数方程：$x=f(t),y=g(t),\alpha \leqslant t\leqslant \beta$

新面积公式： $A=\int_{\alpha}^{\beta} g(t)f'(t) \, dt$

例题 例：求旋轮线 $x=r(\theta-\sin\theta),y=r(1-\cos\theta)$ 的一个拱下方的面积。 解： 旋轮线一个拱在 $(0,2\pi)$ 内，$dx=r(1-\cos\theta)d\theta$ $A=\int_{0}^{2\pi r} y \, dx=\int_{0}^{2\pi} r(1-\cos\theta)r(1-\cos\theta) \, d\theta$ $=r^2\int_{0}^{2\pi}(1-\cos\theta)^2 \, d\theta =r^2\int_{0}^{2\pi} \left[ 1-2\cos\theta+\frac{1}{2}(1+\cos2\theta) \right] \, d\theta$ $=r^2\left[ \frac{3}{2}\theta-2\sin\theta+\frac{1}{4}\sin 2\theta \right]_{0}^{2\pi}=r^2\left( \frac{3}{2}2\pi \right)=3\pi r^2$

弧长

初始弧长公式： $L=\int_{a}^{b} \sqrt{ 1+\left( \frac{dy}{dx} \right)^2 } \, dx$ 参数方程弧长公式： $L=\int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2+\left( \frac{dy}{dt} \right)^2 } \, dt$

$s(t)=\int_{a}^{t}\sqrt{ \left( \frac{dx}{du}^2 \right)+\left( \frac{dy}{du} \right)^2 } \, du$ $v(t)=s'(t)=\sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2+\left( \frac{dy}{dt} \right)^2 }$ 例：粒子在 $t$ 时的位置由参数方程 $x=2t+3,y=4t^2,t\geqslant 0$ 求粒子在点 $(5,4)$ 处时的速率。 解：

$v(t)=\sqrt{ 2^2+(8t)^2 }=2\sqrt{ 1+16t^2 }$ 当 $t=1$ 时，粒子在点 $(5,4)$ 处，所以此时的速度为 $v(1)=2\sqrt{ 17 }\approx 8.25$ 。

曲面面积

曲面面积公式 假设将参数方程 $x=f(t),y=g(t),\alpha \leqslant t\leqslant \beta(f',g'连续且g(t)\geqslant 0)$ 所表示的曲线绕 $x$ 轴旋转，那么所得曲面的面积由下式给出： $S=\int_{\alpha}^{\beta} 2\pi y\sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2+\left( \frac{dy}{dt} \right)^2 } \, dt$

例：证明半径为 $r$ 的球面的面积为 $4\pi r^2$ 。 证明： 球面是由半圆 $x=r\cos t,y=r\sin t,0\leqslant t\leqslant \pi$ 绕 $x$ 轴旋转得到的： $S=\int_{0}^{\pi} 2\pi r\sin t\sqrt{ (-r\sin t)^2+(r\cos t)^2 } \, dt$ $=2\pi \int_{0}^{\pi} r\sin t\sqrt{ r^2(\sin^2t+\cos^2t) } \, dt=2\pi \int_{0}^{\pi}r\sin t\cdot r \, dt$ $=2\pi r^2\int_{0}^{\pi} \sin t \, dt=2\pi r^2(-\cos t)\bigg|_{0}^\pi=4\pi r^2$

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10.3 极坐标系

笛卡儿坐标

坐标系用称作坐标的有序数对表示平面上的点。

极坐标系

平面中选择一点，称为极点，记作 $O$ ，然后从 $O$ 出发画一条射线，称为极轴，极轴通常是水平向右的，对应笛卡儿坐标系的 $x$ 轴正半轴。

说明

夹角从极轴的逆时针方向测量为正值。

如果 $r>0$ ，那么点 $(r,\theta)$ 位于与 $\theta$ 相同的象限；如果 $r<0$ 那么点 $(r,\theta)$ 位于相反方向的象限。

极坐标与笛卡儿坐标之间的关系

笛卡儿坐标： $x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$ $r^2=x^2+y^2,\tan\theta=\frac{y}{x}$ 例题 例：将点 $\left( 2, \dfrac{\pi}{3} \right)$ 从极坐标转化为笛卡儿坐标。 解： $x=r\cos\theta=2\cos \frac{\pi}{3}=2\times \frac{1}{2}=1$ $y=r\sin\theta=2\sin \frac{\pi}{3}=2\times \frac{\sqrt{ 3 }}{2}=\sqrt{ 3 }$ 因此，该点的笛卡儿坐标为 $(1,\sqrt{ 3 })$

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10.4 极坐标下的微积分

面积

扇形面积公式： $A=\frac{1}{2}r^2\theta$ $A=\int_{a}^{b} \frac{1}{2}r^2 \, d\theta =\int_{a}^{b} \frac{1}{2}[f(\theta)]^2 \, d\theta$ 例题 例：求四叶玫瑰线 $x=\cos 2\theta$ 的其中一叶所围成的面积。 解： $A=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2}\cos^2 2\theta \, d\theta=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (1+\cos 4\theta) \, d\theta=\frac{\pi}{8}$

例题 例：求圆 $r=3\sin\theta$ 内部、心脏线 $r=1+\sin\theta$ 外部的区域面积。 解： $A=\frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}}(3\sin\theta)^2 \, d\theta-\frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}}(1+\sin\theta)^2 \, d\theta$ $A=2\left[ \frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}9\sin^2\theta \, d\theta-\frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}(1+2\sin\theta+\sin^2\theta) \, d\theta \right]$ $=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}(8\sin^2\theta-1-2\sin\theta) \, d\theta$ $=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}(3-4\cos 2\theta-2\sin\theta) \, d\theta$ $=[3\theta-2\sin 2\theta+2\cos\theta]\bigg|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}=\pi$

弧长

公式 极坐标曲线 $r=f(\theta),a\leqslant \theta\leqslant b$ 的长度为： $L=\int_{a}^{b} \sqrt{ r^2+\left( \frac{dr}{d\theta} \right)^2 } \, d\theta$

例：求心脏线 $r=1+\sin\theta$ 的长度。 解： $L=\int_{0}^{2\pi} \sqrt{ (1+\sin\theta)^2+\cos^2\theta } \, d\theta=8$

切线

参数曲线的斜率： $\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{d\theta}}{\dfrac{dx}{d\theta}}=\frac{\dfrac{dr}{d\theta}\sin\theta+r\cos\theta}{\dfrac{dr}{d\theta}\cos\theta-r\sin\theta}$

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10.5 圆锥曲线

抛物线

焦点为 $(0,p)$ 、准线为 $y=-p$ 的抛物线的方程为： $x^2=4py$ 焦点为 $(p,0)$ 、准线为 $x=-p$ 的抛物线的方程为： $y^2=4px$

椭圆

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,a\geqslant b>0$ 焦点为 $(\pm c,0)$ ，其中 $c^2=a^2-b^2$ ，顶点为 $(\pm a,0)$

$\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1,a\geqslant b>0$ 焦点为 $(0,\pm c)$ ，其中 $c^2=a^2-b^2$ ，顶点为 $(0,\pm a)$

双曲线

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 焦点为 $(\pm c,0)$ ，其中 $c^2=a^2+b^2$ ，顶点为 $(\pm a,0)$ ，渐近线为 $y=\pm \frac{b}{a}x$

$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$ 焦点为 $(0,\pm c)$ ，其中 $c^2=a^2+b^2$ ，顶点为 $(0,\pm a)$ ，渐近线为 $y=\pm \frac{a}{b}x$

移位的圆锥曲线

例：求焦点为 $(2,-2),(4,-2)$ ，顶点为 $(1,-2),(5,-2)$ 的椭圆方程。 解： 顶点距离为4，所以 $a=2$ 焦点距离为2，所以 $c=1$ 那么，$b=\sqrt{ 3 }$ 椭圆中心为 $(3,-2)$ $\frac{(x-3)^2}{4}+\frac{(y+2)^2}{3}=1$

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10.6 极坐标下的圆锥曲线

圆锥曲线的统一描述

令 $F$ 为平面中的定点（称为焦点），$l$ 为平面中的定直线（称为准线），令 $e$ 为固定的正数（离心率）。平面中满足 $\frac{|PF|}{|Pl|}=e$ 的所有点的集合是一条圆锥曲线： (a)如果 $e<1$ ，它是椭圆 (b)如果 $e=1$ ，它是抛物线 (c)如果 $e>1$ ，它是双曲线

圆锥曲线的极坐标方程

小结 表示离心率为 $e$ 的圆锥曲线：

$$r=\frac{ed}{1\pm e\cos\theta} \qquad\text{或}\qquad r=\frac{ed}{1\pm e\sin\theta}$$

开普勒定律

重点 1、行星绕太阳运动的人轨道是一个椭圆，太阳位于这个椭圆的一个焦点。 2、连接太阳和行星的直线在相同的时间内扫过的面积相等。 3、行星的旋转周期的平方与其轨道的长轴长的立方成正比。

小结 焦点为原点、半长轴长为 $a$ 、离心率为 $e$ 、准线为 $x=d$ 的椭圆的极坐标方程可以写成如下形式： $r=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\theta}$

行星到太阳的近日点距离为 $a(1-e)$ ，远日点距离为 $a(1+e)$ 。

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本章总结

• 参数方程把 $x$ 和 $y$ 同时表示为参数的函数，能够记录运动方向。
• 参数曲线的斜率由 $dy/dt$ 与 $dx/dt$ 的比值给出。
• 极坐标用到原点的距离 $r$ 和方向角 $\theta$ 描述点。
• 极坐标面积来自扇形面积的累积，弧长同时包含 $r$ 与 $dr/d\theta$。
• 离心率统一刻画抛物线、椭圆和双曲线，并连接到行星轨道模型。