微积分

微积分的目标是理解“变化”和“累积”。它从极限出发，建立导数、积分、多元函数和向量场等工具。

学习目标

• 建立极限和连续的直觉。
• 理解导数作为局部线性近似。
• 理解积分作为累积、面积和测度。
• 掌握多元函数、梯度、雅可比矩阵和 Hessian。
• 理解向量微积分中的散度、旋度和通量。
• 能把微积分和机器学习优化、数值计算联系起来。

单变量微积分

单变量微积分主要处理一元函数的极限、连续、导数和积分。它强调函数在局部和全局上的变化规律。

多变量微积分

多变量微积分处理多个输入变量共同影响输出的情形，是理解梯度下降、约束优化和高维几何的基础。

极限

极限描述变量趋近某个位置时函数值的趋势。它是连续、导数和积分定义的基础。

导数

导数刻画局部变化率，也可以理解为函数在某一点附近的最佳线性近似。

积分

积分刻画累积量，可以从面积、反导数、求和极限和测度等角度理解。

多元函数

多元函数引入偏导、方向导数、梯度、Jacobian 和 Hessian，是机器学习和数值优化中的常用语言。

向量微积分

向量微积分研究向量场、线积分、面积分、散度、旋度，以及 Green、Gauss、Stokes 定理之间的联系。

与机器学习 / 优化 / 数值计算的联系

• 梯度下降依赖导数和局部线性近似。
• 损失函数的稳定性与连续性、光滑性有关。
• 数值积分和差分方法依赖极限思想。
• 高维优化依赖多变量微积分和矩阵微分。

《斯图尔特微积分》读书笔记

这组笔记沿着“函数语言 → 极限与导数 → 积分 → 微分方程与坐标表示”的主线整理。每章都包含章节地图、定义与公式、例题或习题、应用背景和本章总结。

章节	主题
第一章：函数与模型	函数表示、基本函数、函数变换、反函数
第二章：极限与导数	极限、连续性、导数定义与变化率
第三章：求导法则	基本求导公式、链式法则、隐函数与变化率
第四章：导数的应用	极值、中值定理、曲线分析、优化与牛顿法
第五章：积分	黎曼和、定积分、微积分基本定理与换元法
第六章：积分的应用	面积、体积、柱壳法、功与平均值
第七章：积分技巧	分部积分、三角换元、部分分式与反常积分
第八章：积分的进一步应用	弧长、曲面面积、物理应用与概率
第九章：微分方程	建模、方向场、欧拉法、分离变量与线性方程
第十章：参数方程与极坐标	参数曲线、极坐标微积分与圆锥曲线